知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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知识点挑题

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1．已知长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，则直线AE与平面A₁ED₁所成角的大小为（）

A．60°

B．90°

C．45°

D．以上都不正确

难度：中等

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2．给出下列条件（其中l为直线，α为平面）：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④α垂直于α内正六边形的三条边．
其中l⊥α的充分条件的所有序号是（）

A．②

B．①③

C．②④

D．③

难度：中等

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3．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）

A．若l∥m，m⊂α，则l∥α

B．若l∥α，m⊂α，则l∥m

C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α

D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

难度：中等

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4．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）

A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α

B．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β

C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

难度：中等

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5．如图△ABC是等腰三角形，BA=BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC=2且BE⊥AD，则（）

A．AB+BC有最大值

B．AB+BC有最小值

C．AE+DC有最大值

D．AE+DC有最小值

难度：中等

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6．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD= $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥AE；
（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

难度：中等

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8．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=
2

（1）求证：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱锥D₁-ABCD的体积．

难度：中等

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9． P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量
a
=（x₁，y₁z₁），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定义一种运算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算（
AB
×
AD
）•
AP
的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（
AB
×
AD
）•
AP
的绝对值的几何意义．

难度：较难

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10．在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与C₁D₁的中点．
（1）求证：四边形A₁ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A₁B₁C；
（3）求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

难度：中等

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