知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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2．（2016•江西模拟）如图，三棱锥S-ABC，E、F分别在线段AB、AC上，EF∥BC，△ABC、△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．
（Ⅰ）当a=
3
2
时，求三棱锥S-ABC的体积．
（Ⅱ）a为何值时，BE⊥平面SCO．

难度：中等

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3．（2016•台州一模）如图，五面体ABCDE中，AB∥CD，CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，BC=
2
，CD=1．
（1）求证：直线BD⊥平面ACE；
（2）求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为．

①ED⊥平面ACD
②CD⊥平面BED
③BD⊥平面ACD
④AD⊥平面BED．

难度：中等

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5．（2016春•云南校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=
3
．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为
π
3
时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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6．（2015秋•柳州校级期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=
2
2
AD．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若AD=2，求三棱锥F-BEC的体积．

难度：中等

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7．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=
6
．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．

难度：中等

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8．（2015春•广州校级期末）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AA₁=AC=2，AB=
2
，O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点．
（1）求证：C₁E∥平面ABO₁；
（2）求证：BD⊥平面ACO₁；
（3）求点A到平面BCO₁的距离．

难度：中等

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9．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，
且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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10．已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面PAF；
（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C-PFD的体积；
（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出
AG
AP
的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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