知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若n行n列的数表 $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a_%7B11%7D%20%26%20a_%7B12%7D%20%26%20%E2%80%A6%20%26%20a_%7B1n%7D%20%5C%5C%20a_%7B21%7D%20%26%20a_%7B22%7D%20%26%20%E2%80%A6%20%26%20a_%7B2n%7D%20%5C%5C%20%E2%8B%AE%20%26%20%E2%8B%AE%20%26%20%20%26%20%E2%8B%AE%20%5C%5C%20a_%7Bn1%7D%20%26%20a_%7Bn2%7D%20%26%20%E2%80%A6%20%26%20a_%7Bnn%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D$ （n≥2）满足：a_ij∈{0，1}（i，j=1，2，…，n）， $%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_%7Bik%7D%3Dm$ （i=1，2，…，n，0＜m＜n）， $%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ca_%7Bik%7D-a_%7Bjk%7D%7C%EF%BC%9E0%C2%A0%28i%EF%BC%8Cj%3D1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cn%EF%BC%8Ci%E2%89%A0j%29$ ，记这样的一个数表为A_n（m）．对于A_n（m），记集合 $T%28n%EF%BC%8Cm%29%3D%5C%7B%CF%83_%7Bij%7D%7C%CF%83_%7Bij%7D%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_%7Bik%7Da_%7Bjk%7D%C2%A0%EF%BC%8C1%E2%89%A4i%EF%BC%9Cj%E2%89%A4n%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A0i%EF%BC%8Cj%E2%88%88N%5E%7B*%7D%5C%7D$ ．|T（n，m）|表示集合T（n，m）中元素的个数．
（Ⅰ）已知 $A_%7B3%7D%282%29%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%200%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，写出 $%CF%83_%7Bij%7D%281%E2%89%A4i%EF%BC%9Cj%E2%89%A43%C2%A0%EF%BC%8Ci%EF%BC%8Cj%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ 的值；
（Ⅱ）是否存在数表A₄（2）满足|T（4，2）|=1？若存在，求出A₄（2），若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对于数表 $A_%7Bn%7D%28m%29%280%EF%BC%9Cm%EF%BC%9Cn%EF%BC%8Cm%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，求证： $%7CT%28n%EF%BC%8Cm%29%7C%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

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2．
设矩阵 $M=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} x & y \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]$ ，$N=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 2 & {} & 4 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} -1 & -1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]$，若$MN=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 0 & 2 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} 5 & 13 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]$，求矩阵$M$的特征值．

难度：易

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3．已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%20%26%20y%20%5C%5C%201%20%26%202%5Cend%7Bbmatrix%7D%EF%BC%8CB%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26%20m%20%5C%5C%20-2%20%26%20m%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，向量 $%CE%B1%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%5C%5C%203%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，x、y∈（0，+∞），若Aα=Bα，求xy的最大值．

难度：较易

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4．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2\end{bmatrix}$，矩阵$B$的逆矩阵$B^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & - \dfrac {1}{2} \\ 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵$AB$．

难度：较易

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5．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2\end{bmatrix},B= \begin{bmatrix} -1 & m \\ -2 & m\end{bmatrix}$，向量$α= \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}$，$x$、$y∈(0,+∞)$，若$Aα=Bα$，求$xy$的最大值．

难度：较易

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6．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%26%20-2%20%5C%5C%20-2%20%26%20-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ ，B= $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D5%20%5C%5C%20-15%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ 满足AX=B，求矩阵X．

难度：中等

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7．已知矩阵M=，N=，且MN=．
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；
（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

难度：中等

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