\((2)\)已知向量\(\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{{-}}1 \\ \end{bmatrix}\)是矩形\(A\)的属于特征值\(-1\)的一个特征向量\(.\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,1)\)在矩阵\(A\)对应的变换作用下变为\(P{{'}}(3,3)\)，求矩阵\(A\)．

\((3)\)在极坐标系中，求直线\(θ=\dfrac{\pi}{4}(ρ∈R)\)被曲线\(ρ=4\sin θ\)所截得的弦长\(AB\)．

\((4)\)求函数\(y=3\sin x+2\sqrt{2{+}2\cos 2x}\)的最大值．

\((I)\)如图，圆\(O\)的弦\(AB\)，\(MN\)交于点\(C\)，且\(A\)为弧\(MN\)的中点，点\(D\)在弧\(BM\)上，\(∠ACN=3∠ADB\)，求\(∠ADB\)的大小．

\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} a & 3 \\ 2 & d \\ \end{bmatrix}\)，若\(A\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ \end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的特征值．

\((III)\)在极坐标系中，已知点\(A\left( 2\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right)\)，点\(B\)在直线\(l:ρ\cos θ+ρ\sin θ=0(0\leqslant θ < 2π)\)上，当线段\(AB\)最短时，求点\(B\)的极坐标．

\((IV)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数，且\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{2}b^{2}c^{2}\)，求证：\(a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{3}\)．

【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，圆\(O\)的直径\(AB=6\)，\(C\)为圆周上一点，\(BC=3\)，过点\(C\)作圆的切线\(l\)，过\(A\)作\(l\)的垂线\(AD\)，\(AD\)分别与直线\(l\)，圆\(O\)交于点\(D\)，\(E\)，求\(∠DAC\)的大小和线段\(AE\)的长．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

已知二阶矩阵\(M\)有特征值\(λ=8\)及对应的一个特征向量\(e_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)，且矩阵\(M\)对应的变换将点\((-1,2)\)变换成点\((-2,4)\)．

\((1)\) 求矩阵\(M;\)

\((2)\) 求矩阵\(M\)的另一个特征值．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

已知圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程分别为\(ρ=2\)，\(ρ^{2}-2\sqrt{2}ρ\cos \left( \theta\mathrm{{-}}\dfrac{\pi}{4} \right)=2\)．

\((1)\) 把圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程化为直角坐标方程\(;\)

\((2)\) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\(a+b+c=3\)，求\(\sqrt{3a{+}1}+\sqrt{3b{+}1}+\sqrt{3c{+}1}\)的最大值．

【选做题】本题包括\(A\)， \(B\)，\(C\)，\(D\)四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．

A.\((\)选修\(4-1\)；几何证明选讲\()\)

如图，四边形\(ABCD\)是圆的内接四边形，\(BC=BD\)，\(BA\)的延长线交\(CD\)的延长线于点\(E\)．

求证：\(AE\)是四边形\(ABCD\)的外角\(\angle DAF\)的平分线．

   B.\((\)选修\(4-2\)：矩阵与变换\()\)

求矩阵\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{matrix} \right]\)的特征值及对应的特征向量．

C.\((\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程\()\)

在平面直角坐标系中，曲线\({{C}_{1}}:\begin{cases} & x=3+3\cos \alpha \\ & y=2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)经过伸缩变换\(\begin{cases} & {x}{{'}}=\dfrac{x}{3} \\ & {y}{{'}}=\dfrac{y}{2} \\ \end{cases}\)，后的曲线为\({{C}_{2}}\)，坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系．

\((1)\)求\({{C}_{2}}\)的极坐标方程；

\((2)\)设曲线\({{C}_{3}}\)的极坐标方程为\(\rho \sin \left( \dfrac{\pi }{6}-\theta \right)=1\)，且曲线\({{C}_{3}}\)与曲线\({{C}_{2}}\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(\left| PQ \right|\)的值．D.\((\)选修\(4-5\)：不等式选讲\()\)已知\(x\)，\(y\)，\(z\)都是正数且\(xyz\)\(=8\)，求证：\((2+\)\(x\)\()(2+\)\(y\)\()(2+\)\(z\)\()\geqslant 64\)

\((1)\)求实数\(a\)，\(b\)的值； \((2)\)求出矩阵\(A\)的特征值及对应一个的特征向量

设矩阵 \(M=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} x & y \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\) ，\(N=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 2 & {} & 4 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} -1 & -1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\)，若\(MN=\left[ \begin{matrix} & \begin{matrix} 0 & 2 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} 5 & 13 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\)，求矩阵\(M\)的特征值．