知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2%2B2cos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D2sin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₂： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ +y²=1经伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3Dy%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到曲线C₃，射线θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ （ρ＞0）分别与C₁和C₃交于A，B两点，求|AB|．

难度：较易

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2．
在平面直角坐标系$xOy$中，以原点$O$为极点，$x$轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=1+\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$．
$($Ⅰ$)$求曲线$C$的极坐标方程；
$($Ⅱ$)$若曲线$C$向左平移一个单位，再经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}=2x}{y{{'}}=y}\end{cases}$得到曲线$C{{'}}$，设$M(x,y)$为曲线$C{{'}}$上任一点，求$ \dfrac {x^{2}}{4}- \sqrt {3}xy-y^{2}$的最小值，并求相应点$M$的直角坐标．

难度：较易

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3．
坐标系与参数方程选讲．
已知曲线$C$：$ \begin{cases} \overset{x=\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$．
$(1)$将$C$参数方程化为普通方程；
$(2)$若把$C$上各点的坐标经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}=3x}{y{{'}}=2y}\end{cases}$后得到曲线$C^{′}$，求曲线$C^{′}$上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．

难度：中等

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4．
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}= \dfrac {1}{2}x}{y{{'}}= \dfrac {1}{3}y}\end{cases}$后的图形．
$(1)5x+2y=0$
$(2)x^{2}+y^{2}=1$．

难度：较易

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5．

选修$4—4$：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆$C$的极坐标方程为：$ρ^{2}=4ρ(\cos θ+\sin θ)-6.$若以极点$O$为原点，极轴所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系．

$($Ⅰ$)$求圆$C$的参数方程；

$($Ⅱ$)$在直角坐标系中，点$P(x,y)$是圆$C$上动点，试求$x+y$的最大值，并求出此时点$P$的直角坐标．

难度：较易

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6．

$(1)$已知曲线$C$的极坐标方程是$ρ=2$，以极点为原点，极轴为$x$轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=1+t \\ y=2+ \sqrt{3}t\end{cases} $ $(t$为参数$)$．

$①$写出直线$l$的普通方程与曲线$C$的直角坐标方程；

$②$设曲线$C$经过伸缩变换$\begin{cases}x{{'}}=x \\ y{{'}}= \dfrac{1}{2}y\end{cases} $得到曲线$C{{'}} $，设 $M(x,y)$为$C{{'}} $上任意一点，

求${x}^{2}- \sqrt{3}xy+2{y}^{2} $的最小值，并求相应的点$M$的坐标．

$(2)$设函数$f(x)=\left|x-a\right| $．

$①$当$a=2$时，解不等式$f(x)\geqslant 7-|x-1|$；

$②$若$f(x)\leqslant 2$的解集为$[-1,3]$，$ \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{2n}=a(m > 0,n > 0) $，求证：$m+4n\geqslant 2 \sqrt{2}+3 $．

难度：难

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7．已知曲线$C$的极坐标方程为$ρ=1$，以极点为原点，极轴为 $x$轴的正半轴建立直角坐标系，直线 $l$的参数方程$\begin{cases}x=6- \dfrac{ \sqrt{3}}{2}t \\ y= \dfrac{1}{2}t\end{cases}\left(t为参数\right) $
$($Ⅰ$)$写出直线 $l$的普通方程与曲线$C$的直角坐标方程；
$($Ⅱ$)$设曲线$C$经过伸缩变换$\begin{cases}{x}^{{{'}}}=3x \\ {y}^{{{'}}}=y\end{cases} $得到曲线$C′$，若在曲线$C′$上有一点$M$，使点$M$到直线 $l$的距离最小，求出最小距离．

难度：较难

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8．
选修$4-4$：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中，曲线$C_{1}$的参数方程是$\begin{cases}x=-1+\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ$为参数$)$，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程是$ρ=2\sin θ $．

$($Ⅰ$)$求曲线$C1$与$C2$交点的平面直角坐标；

$($Ⅱ$)$点$A$，$B$分别在曲线$C1$，$C2$上，当$|AB|$最大时，求$\triangle OAB$的面积$(O$为坐标原点$)$．

难度：较难

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9．
在直角坐标系$xOy$中，曲线$C$的参数方程为$\{\begin{matrix} x=\sqrt{2}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \\\end{matrix}(\alpha $为参数$)$，以原点$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$\rho {\sin }\left( \theta +\dfrac{\pi }{4} \right)=4\sqrt{2}$．

$(1)$求曲线$C$的普通方程与直线$l$的直角坐标方程；

$(2)$设$P$为曲线$C$上的动点，求点$P$的直线$l$的距离的最小值．

难度：较易

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10．（Ⅰ）点P的直角坐标为 $%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29$ ，求它的极坐标（写出一个即可）；
（Ⅱ）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D5x%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D3y%5Cend%7Bcases%7D$ 后，曲线C变为曲线2x'²+8y'²=1，求曲线C的方程．

难度：易

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