知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%7D%7By%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后的图形．
（1）5x+2y=0
（2）x²+y²=1．

难度：较易

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2．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%7D%7By%27%3D3y%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到曲线的方程的周期为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$

B．π

C．2π

D．3π

难度：易

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3．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D5x%7D%7By%27%3D3y%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后，曲线C变为曲线2x′²+8y′²=1，则曲线C的方程为（　　）

A．25x²+36y²=1

B．50x²+72y²=1

C．10x²+24y²=1

D． $%20%5Cfrac%20%7B2x%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B8y%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$

难度：易

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4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=1，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，（t为参数）．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D2x%7D%7By%27%3Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C'，设曲线C'上任一点为M（x，y），求 $x%2B2%20%5Csqrt%20%7B3%7Dy$ 的最大值．

难度：较易

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5．用坐标法证明：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

难度：较易

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6．已知曲线C 的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dcos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dsin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l₁：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，l₂：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，若l ₁、l₂与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

难度：较易

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7．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C₁，又已知直线l： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dtcos%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2Btsin%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t是参数），且直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（0， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ），求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPA%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPB%7C%7D$ ．

难度：较易

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8．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D2y%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x₀，y₀），求 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx_%7B0%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy_%7B0%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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9．将曲线y=sin 2x按照伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D2x%7D%7By%27%3D3y%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到的曲线方程为（　　）

A．y=3sin x

B．y=3sin 2x

C．y=3sin $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x

D．y= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ sin 2x

难度：易

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10．将单位圆经过伸缩变换：φ： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%CE%BBx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D%CE%BCy%5Cend%7Bcases%7D$ （λ＞0，μ＞0）得到曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：中等

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