知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=1，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，（t为参数）．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D2x%7D%7By%27%3Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C'，设曲线C'上任一点为M（x，y），求 $x%2B2%20%5Csqrt%20%7B3%7Dy$ 的最大值．

难度：较易

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2．用坐标法证明：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

难度：较易

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3．已知曲线C 的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dcos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dsin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l₁：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，l₂：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，若l ₁、l₂与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

难度：较易

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4．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C₁，又已知直线l： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dtcos%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2Btsin%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t是参数），且直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（0， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ），求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPA%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPB%7C%7D$ ．

难度：较易

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5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D2y%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x₀，y₀），求 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx_%7B0%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy_%7B0%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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6．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D3%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D-3%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）求直线l分圆C所得的两弧程度之比．

难度：较易

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7．方程x $%20%5Csqrt%20%7B2x%5E%7B2%7D%2B2y%5E%7B2%7D-3%7D$ =0所表示的曲线是（　　）

A．两个点和两条射线

B．一条直线和一个圆

C．一个点和一个圆

D．两条射线和一个圆

难度：易

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8．将单位圆经过伸缩变换：φ： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%CE%BBx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D%CE%BCy%5Cend%7Bcases%7D$ （λ＞0，μ＞0）得到曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：中等

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9．（Ⅰ）点P的直角坐标为 $%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29$ ，求它的极坐标（写出一个即可）；
（Ⅱ）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D5x%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D3y%5Cend%7Bcases%7D$ 后，曲线C变为曲线2x'²+8y'²=1，求曲线C的方程．

难度：易

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10．在同一平面直角坐标系中，将直线x+y+2=0变成直线8x+y+8=0，写出满足条件的伸缩变换公式 ______ ．

难度：难

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