知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(x\)，\(y\)，\(z\)均为实数\(.\)若\(x+y+z=1\)，求证：\( \sqrt{3x+1}+ \sqrt{3y+2}+ \sqrt{3z+3}\leqslant 3 \sqrt{3}\)．

难度：较易

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2．已知\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，\(a\)\({\,\!}^{2}\)\(+b\)\({\,\!}^{2}\)\(+c\)\({\,\!}^{2}\)\(=1\)，若\(|x-1|+|x+1|\geqslant (a-b+c)\)\({\,\!}^{2}\)对一切实数\(a\)，\(b\)，\(c\)恒成立，求实数\(x\)的取值范围．

难度：中等

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3．
\(.\)设\(x\)，\(y\)，\(z∈R\)，\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\)，试求\(x-2y+2z\)的最大值与最小值．

难度：中等

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4．
已知\(a{,}b{∈}R{,}2a^{2}{-}b^{2}{=}1\)，则\({|}2a{-}b{|}\)的最小值为______．

难度：中等

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5．设\(x\)，\(y\)，\(z∈R\)，\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\)，试求\(x-2y+2z\)的最大值与最小值．

难度：中等

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6．
\((1)\)已知函数\(f(x)=|x-2|-|x+1|.\)解不等式\(f(x)\geqslant x\)\({\,\!}^{2}\)\(-2x\)；

\((2)\)已知\(x\)，\(y\)，\(z\)均为正数\(.\)求证：\(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{zx}+\dfrac{z}{xy}\geqslant \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)．

难度：难

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7．

选修\(4-5\)：不等式选讲

己知\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)均为正数，且\(ad=bc\)．

\((1)\)证明：若\(a+d > b+c\)，则\(|a-d| > |b-c|\)；

\((2)\)若\(t\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{4}}+{{c}^{4}}}+\sqrt{{{b}^{4}}+{{d}^{4}}}\)，求实数\(t\)的取值范围．

难度：难

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8．
已知\(a > 0,\ \ b > 0\)，函数\(f(x)=\left| x+a \right|+\left| x-b \right|\)的最小值为\(4\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(a+b\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)求\(\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{9}{{b}^{2}}\)的最小值．

难度：中等

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9．已知关于\(x\)的不等式\(|x+a| < b\)的解集为\(\{x|2 < x < 4\}\)．
\((1)\)求实数\(a\)，\(b\)的值；
\((2)\)求\( \sqrt{at+12}\)\(+\)\( \sqrt{3bt}\)的最大值．

难度：中等

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10．
设\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d > 0\)，

\((1)\)若\(a+b+c+d=3\)，求证：\(\dfrac{{{a}^{3}}}{b+c+d}+\dfrac{{{b}^{3}}}{a+c+d}+\dfrac{{{c}^{3}}}{a+b+d}+\dfrac{{{d}^{3}}}{a+b+c}\geqslant \dfrac{3}{4}\)；

\((2)\)求证：\(\dfrac{a}{b+2c+3d}+\dfrac{b}{c+2d+3a}+\dfrac{c}{d+2a+3b}+\dfrac{d}{a+2b+3c}\geqslant \dfrac{2}{3}\)．

难度：中等

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