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          共50条信息

            • 1．
              高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题\(.\)一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：

              \((1)\)图\(1\)矩形中白色区域面积等于图\(2\)矩形中白色区域面积；
              \((2)\)图\(1\)阴影区域面积用\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)表示为______；
              \((3)\)图\(2\)中阴影区域的面积为 \( \sqrt {a^{2}+b^{2}} \sqrt {c^{2}+d^{2}}\sin ∠BAD\)；
              \((4)\)则柯西不等式用字母\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)可以表示为\((ac+bd)^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).\)
              请简单表述由步骤\((3)\)到步骤\((4)\)的推导过程：______．
              难度：中等
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            • 2．
              已知\(x\)，\(y\)，\(z\)均为实数．
              \((1)\)求证：\(1+2x^{4}\geqslant 2x^{3}+x^{2}\)；
              \((2)\)若\(x+2y+3z=6\)，求\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\)的最小值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知实数\(x\)，\(y\)满足\(x^{2}+3y^{2}=1\)，求当\(x+y\)取最大值时\(x\)的值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知正数\(x\)，\(y\)，\(z\)满足\(x+2y+3z=2\)，求\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\)的最小值．
              难度：易
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            • 5．
              伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题\(.\)一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：\((ac+bd)^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\)的一种“图形证明”．

              证明思路：
              \((1)\)图\(1\)中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
              \((2)\)图\(1\)中阴影区域的面积为\(ac+bd\)，图\(2\)中，设\(∠BAD=θ\)，图\(2\)阴影区域的面积可表示为 ______ \((\)用含\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(θ\)的式子表示\()\)；
              \((3)\)由图中阴影面积相等，即可导出不等式\((ac+bd)^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).\)当且仅当\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)满足条件 ______ 时，等号成立．
              难度：难
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            • 6．
              已知正数\(x\)，\(y\)，\(z\)满足\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=6\)．
              \((1)\)求\(x+2y+z\)的最大值；
              \((2)\)若不等式\(|a+1|-2a\geqslant x+2y+z\)对满足条件的\(x\)，\(y\)，\(z\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 7．

              已知 \(A\) ， \(B\) 是函数 \(y={{2}^{\,x}}\) 的图象上的相异两点\(.\)若点 \(A\) ， \(B\) 到直线 \(y=\dfrac{1}{2}\) 的距离相等，则点 \(A\) ， \(B\) 的横坐标之和的取值范围是


              A．\((-\,\infty ,-1)\)
              B．\((-\,\infty ,-\,2)\)
              C．\((-1,+\,\infty )\)
              D．\((-\,2,+\,\infty )\)
              难度：中等
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            • 8．

              选修\(4—5\)：不等式选讲

              已知函数\(f(x)=m-\left| x+4 \right|(m > 0)\)，且\(f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\(\left[ -3,-1 \right]\)．

              \((1)\) 求\(m\)的值；

              \((2)\)若\(a,b,c\)都是正实数，且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}=m\)，求证：\(a{+}2b{+}3c\geqslant 9\)．

              难度：难
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            • 9．

              设\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)是\(1\)，\(2\)，\(…\)，\(n(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)的一个排列，求证：\( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{3}+…+ \dfrac{n-1}{n}\leqslant \dfrac{a_{1}}{a_{2}}+ \dfrac{a_{2}}{a_{3}}+…+ \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}\)．

              难度：中等
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            • 10．

              已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0\)，函数\(f(x)=|x+a|-|x-b|+c\)的最大值为\(10\)．

              \((1)\)求\(a+b+c\)的值\(;\)

              \((2)\)求\(\dfrac{1}{4}(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}\)的最小值，并求出此时\(a\)，\(b\)，\(c\)的值．

              难度：中等
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