知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-2y-7=0垂直，求f（x）的单调区间；
（2）求证：f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．

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2．已知函数f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

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3．已知函数f（x）=ax³+cx（a＞0），其图象在点（1，f（1））处的切线与直线 x-6y+21=0垂直，导函数
f′（x）的最小值为-12．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在x∈[-2，2]的值域．

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4．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2Bb%7D$ ，且f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若P（x₀，y₀）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．

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5．设函数f（x）=（alnx+ $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx%7D%29$ e^x，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）设g（x）=xe^-x- $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Be%7D%28x%EF%BC%9E0%29$ ，求g（x）的最大值；
（Ⅲ）证明函数f（x）的图象与直线y=1没有公共点．

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6．求曲线f（x）=
x
e2x
在x=2处的切线与x轴交点A的坐标．

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7．已知函数f（x）=ax³+x+1的图象在点（1，f（1））的处的切线过点（3，7）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（-4）+f（-3）+…+f（3）+f（4）的值．

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8．已知函数f（x）=2lnx-ax，g（x）=x²，若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与函数g（x）在（2，g（2））处的切线互相平行，求实数a的值．

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9．已知函数f（x）=ax²+lnx的导数f′（x）．
（1）求f（1）+f′（1）；
（2）若曲线y=f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的范围．

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10．求过曲线y=e^x上点P（1，e）且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．

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