知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
p $%20%5Cfrac%20%7B6%7D%7B125%7D$ a d $%20%5Cfrac%20%7B24%7D%7B125%7D$
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求p，q的值；
（Ⅲ）求数学期望Eξ．

难度：较易

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2．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：
X 0～6 7 8 9 10
P 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．
（I）求该运动员两次都命中7环的概率；
（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．

难度：较易

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3．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20-2%EF%BC%8Cy%EF%BC%9C94%20%5C%5C%202%EF%BC%8C94%E2%89%A4t%EF%BC%9C102%20%5C%5C%204%EF%BC%8Ct%E2%89%A5102%5Cend%7Bcases%7D$ ，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．

难度：较易

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4．
休假次数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

难度：较易

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5．某中学经市政府批准建分校，建分校工程分三期完成，确定由甲、乙两家建筑公司承建此工程．规定每期工程仅由两公司之一独立承建，必须在前一期工程完工后再开始后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（Ⅰ）求甲公司至少获得一期工程的概率；
（Ⅱ）求甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多的概率．

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6．某校为了了解高三学生体育达标情况，在高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（1）已知学生甲的成绩在第5组，求学生甲被抽中复查的概率；
（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一人在第3组，另一人在第4组的概率．

难度：较易

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7．已知甲袋内有大小相同的2个白球和4个黑球，乙袋内有大小相同的1个白球和4个黑球，现从甲、乙两个袋内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个白球的概率．

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8．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ，购买B种商品的槪率为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，购买C种商品的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．假设该网民是否购买这三种商品相互独立
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．

难度：较易

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9．某城市有甲，乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；
（2）B与D；
（3）B与C；
（4）C与D．

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10．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：获得不多于30元菜品或饮品．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．

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ξ	0	1	2	3
p	$%20%5Cfrac%20%7B6%7D%7B125%7D$	a	d	$%20%5Cfrac%20%7B24%7D%7B125%7D$

指标值分组	[90，94）	[94，98）	[98，102）	[102，106）	[106，110]
频数	8	20	42	22	8

X	0～6	7	8	9	10
P	0	0.2	0.3	0.3	0.2

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15