知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量$N($单位：$mm)$对工期的影响如表：

降水量$N$ $N < 400$ $400\leqslant N < 600$ $600\leqslant N < 1000$ $N\geqslant 1000$

工期延误天数$X$ $0$ $1$ $3$ $6$

根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前$20$天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如图所示．

$(1)$求这$20$天的平均降水量；
$(2)$根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数$X=0$，$1$，$3$，$6$的概率．

难度：较易

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2．
为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

$(1)$已知该校有$400$名学生，试估计全校学生中，每天学习不足$4$小时的人数．

$(2)$若从学习时间不少于$4$小时的学生中选取$4$人，设选到的男生人数为$X$，求随机变量$X$的分布列．

$(3)$试比较男生学习时间的方差$S_{1}^{2}$与女生学习时间方差$S_{2}^{2}$的大小$.($只需写出结论$)$

难度：较易

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3．

为了解学生寒假期间学习情况。学校对某班男、女学生学习时间进行调查$.$学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下$︰$

$(I)$已知该校有$400$名学生，试估计全校学生中，每天学习不足$4$小时的人数．

$($Ⅱ$)$若从学习时间不少于$4$小时的学生中选取$4$人，设选到的男生人数为$X.$求随机变量$X$的分布列．

$($Ⅲ$)$试比较男生学习时间的方差$S_{1}^{2}$与女生学习时间方差$S_{2}^{2}$的大小$.($只需写出结论$)$．

难度：较易

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4．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s²最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ [（x $%C2%A0_%7B1%7D%2B%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）²+（x₂- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）²+…+（x $%C2%A0_%7Bn%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）²]，其中 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ 为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

难度：较易

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5．
据某市地产数据研究院的数据显示，$2016$年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从$8$月份采取宏观调控措施，$10$月份开始房价得到很好的抑制．

$($Ⅰ$)$地产数据研究院研究发现，$3$月至$7$月的各月均价$y($万元$/$平方米$)$与月份$x$之间具有较强的线性相关关系，试建立$y$关于$x$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，政府若不调控，依次相关关系预测第$12$月份该市新建住宅销售均价；
$($Ⅱ$)$地产数据研究院在$2016$年的$12$个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为$X$，求$X$的分布列和数学期望．
参考数据：$ \sum\limits_{i=1}^{5}x_{i}=25$，$ \sum\limits_{i=1}^{5}y_{i}=5.36$，$ \sum\limits_{i=1}^{5}(x_{i}- \overset{ .}{x})(y_{i}- \overset{ .}{y})=0.64$
回归方程$ \hat y= \hat bx+ \hat a$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$ \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}$，$ \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}$．

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6．

为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为$50$的样本$(50$名男生的身高均在$159.5—179.5$，单位：$cm)$，分组情况如下：

$(1)$求出表中$a$，$m$的值；

$(2)$补全频率分布直方图并画出频率分布折线图；

$(3)$由频率分布直方图估计这组样本数据的众数、中位数。

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7．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s²最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ [（x $%C2%A0_%7B1%7D%2B%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²+（x₂- $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²+…+（x $%C2%A0_%7Bn%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²]，其中 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ 为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

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8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
（1）请填写如表：
平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数
甲　　　　　
乙　
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（谁的成绩更稳定）；
②从折线图上两人射击命中环数的走势看（谁更有潜力）．

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9．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

	患三高疾病	不患三高疾病	合计
男	______	6	30
女	______	______	______
合计	36	______	______

（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，
请计算出统计量K²，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）

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10．某地区50位居民的人均月用水量（单位：t）的分组及频数如下：
[1，2），5；[2，3），10；[3，4），20；[4，5），15．
（1）成下面的频率分布表：

分组频数频率

[1，2） 5

[2，3） 10

[3，4） 20

[4，5） 15
（2）画出其频率分布直方图和频率折线图：

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降水量\(N\)	\(N < 400\)	\(400\leqslant N < 600\)	\(600\leqslant N < 1000\)	\(N\geqslant 1000\)
工期延误天数\(X\)	\(0\)	\(1\)	\(3\)	\(6\)

	平均数	方差	中位数	命中9环及9环以上的次数
甲
乙

分组	频数	频率
[1，2）	5
[2，3）	10
[3，4）	20
[4，5）	15