知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知斜率为$k$的直线$l$与椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1$交于$A$，$B$两点，线段$AB$的中点为$M(1,m)(m > 0)$．
$(1)$证明：$k < - \dfrac {1}{2}$；
$(2)$设$F$为$C$的右焦点，$P$为$C$上一点，且$ \overrightarrow{FP}+ \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{FB}= \overrightarrow{0}.$证明：$| \overrightarrow{FA}|$，$| \overrightarrow{FP}|$，$| \overrightarrow{FB}|$成等差数列，并求该数列的公差．

难度：较易

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2．
设椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的右顶点为$A$，上顶点为$B.$已知椭圆的离心率为$ \dfrac { \sqrt {5}}{3}$，$|AB|= \sqrt {13}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆的方程；
$($Ⅱ$)$设直线$l$：$y=kx(k < 0)$与椭圆交于$P$，$Q$两点，$1$与直线$AB$交于点$M$，且点$P$，$M$均在第四象限$.$若$\triangle BPM$的面积是$\triangle BPQ$面积的$2$倍，求$k$的值．

难度：较易

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3．
已知椭圆$M$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$ \dfrac { \sqrt {6}}{3}$，焦距为$2 \sqrt {2}.$斜率为$k$的直线$l$与椭圆$M$有两个不同的交点$A$，$B$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$M$的方程；
$($Ⅱ$)$若$k=1$，求$|AB|$的最大值；
$($Ⅲ$)$设$P(-2,0)$，直线$PA$与椭圆$M$的另一个交点为$C$，直线$PB$与椭圆$M$的另一个交点为$D.$若$C$，$D$和点$Q(- \dfrac {7}{4}, \dfrac {1}{4})$共线，求$k$．

难度：较易

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4．过点（3，2）且与椭圆3x²+8y²=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

B． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B15%7D%3D1$

C． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B15%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

D． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

难度：较易

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5．
设椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，离心率为$ \dfrac {1}{2}.$已知$A$是抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$的焦点，$F$到抛物线的准线$l$的距离为$ \dfrac {1}{2}$．
$(I)$求椭圆的方程和抛物线的方程；
$(II)$设$l$上两点$P$，$Q$关于$x$轴对称，直线$AP$与椭圆相交于点$B(B$异于$A)$，直线$BQ$与$x$轴相交于点$D.$若$\triangle APD$的面积为$ \dfrac { \sqrt {6}}{2}$，求直线$AP$的方程．

难度：较易

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