知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．

难度：较易

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，F为A₁B₁的中点．求证：
（1）B₁C∥平面FAC₁；
（2）平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

难度：较易

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3．如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：较易

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4．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

难度：较易

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5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的长度．

难度：较易

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6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2，AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=4．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

难度：较易

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7．如图ABCD为矩形，CDFE为梯形，CE⊥平面ABCD，O为BD的中点，AB=2EF
（Ⅰ）求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）若ABCD为正方形，求证：平面ACE⊥平面BDF．

难度：较易

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8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁，A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC夹角的大小．

难度：较易

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9．如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．
（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

难度：较易

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10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

难度：较易

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