知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥\(P\)\(\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．

\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；

\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；

\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．

难度：较易

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2．
已知正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}C⊥BD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(A_{1}C\)与侧面\(BB_{1}C_{1}C\)所成的角的正切值；
\((\)Ⅲ\()\)求二面角\(B_{1}-CD-B\)的正切值．

难度：较易

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3．
如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AD=AA_{1}=1\)，\(AB > 1\)，点\(E\)在棱\(AB\)上移动，小蚂蚁从点\(A\)沿长方体的表面爬到点\(C_{1}\)，所爬的最短路程为\(2 \sqrt {2}\)．
\((1)\)求证：\(D_{1}E⊥A_{1}D\)；
\((2)\)求\(AB\)的长度；
\((3)\)在线段\(AB\)上是否存在点\(E\)，使得二面角\(D_{1}-EC-D\)的大小为\( \dfrac {\pi }{4}.\)若存在，确定点\(E\)的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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4．
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形\((\)尺寸如图所示\()\)，\(E\)为\(VB\)的中点\(.\)求证：\(VD/\!/\)平面\(EAC\)．

难度：较易

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5．
如图，在直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AC=1\)，\(AB= \sqrt {2}\)，\(BC= \sqrt {3}\)，\(AA_{1}= \sqrt {2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}B⊥B_{1}C\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A_{1}-B_{1}C-B\)的大小．

难度：较易

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