知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(PA=PD\)，\(O\)为\(AD\)边的中点．
\((1)\)证明：平面\(POB⊥\)平面\(PAD\)；
\((2)\)若\(AB=2 \sqrt {3},PA= \sqrt {7},PB= \sqrt {13}\)，求四棱锥\(P-ABCD\)的体积．

难度：较易

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2．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．
（Ⅰ）求证：点D为BC中点；
（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．

难度：较易

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3．
如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(AB⊥BC\)，\(AB=BC=kPA\)，点\(O\)为\(AC\)中点，\(D\)是\(BC\)上一点，\(OP⊥\)底面\(ABC\)，\(BC⊥\)面\(POD\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：点\(D\)为\(BC\)中点；
\((\)Ⅱ\()\)当\(k\)取何值时，\(O\)在平面\(PBC\)内的射影恰好是\(PD\)的中点．

难度：较易

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4．
如图，在四棱锥\(P\)\(\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．

\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；

\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；

\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．

难度：较易

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5．如图，面为平行形的四锥P-ABCD中，ABC，PA⊥面BCD，且A=AB，E是PD的中点．
求二EAC-B的大小．

难度：较易

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6．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF．
（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，试求多面体AD-BCFE体积．

难度：较易

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7．
已知正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}C⊥BD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(A_{1}C\)与侧面\(BB_{1}C_{1}C\)所成的角的正切值；
\((\)Ⅲ\()\)求二面角\(B_{1}-CD-B\)的正切值．

难度：较易

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8．
如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AD=AA_{1}=1\)，\(AB > 1\)，点\(E\)在棱\(AB\)上移动，小蚂蚁从点\(A\)沿长方体的表面爬到点\(C_{1}\)，所爬的最短路程为\(2 \sqrt {2}\)．
\((1)\)求证：\(D_{1}E⊥A_{1}D\)；
\((2)\)求\(AB\)的长度；
\((3)\)在线段\(AB\)上是否存在点\(E\)，使得二面角\(D_{1}-EC-D\)的大小为\( \dfrac {\pi }{4}.\)若存在，确定点\(E\)的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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9．
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形\((\)尺寸如图所示\()\)，\(E\)为\(VB\)的中点\(.\)求证：\(VD/\!/\)平面\(EAC\)．

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10．一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示．
（1）请画出它的直观图；
（2）求这个三棱柱的表面积和体积．

难度：较易

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