知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%7D%7By%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后的图形．
（1）5x+2y=0
（2）x²+y²=1．

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2．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=1，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，（t为参数）．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D2x%7D%7By%27%3Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C'，设曲线C'上任一点为M（x，y），求 $x%2B2%20%5Csqrt%20%7B3%7Dy$ 的最大值．

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3．用坐标法证明：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

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4．已知曲线C 的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dcos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7Dsin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l₁：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，l₂：θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，若l ₁、l₂与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

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5．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C₁，又已知直线l： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dtcos%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2Btsin%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t是参数），且直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（0， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ），求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPA%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPB%7C%7D$ ．

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6．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D2y%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x₀，y₀），求 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx_%7B0%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy_%7B0%7D$ 的取值范围．

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7．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D3%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D-3%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）求直线l分圆C所得的两弧程度之比．

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8．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2%2B2cos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D2sin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₂： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ +y²=1经伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3Dy%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到曲线C₃，射线θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ （ρ＞0）分别与C₁和C₃交于A，B两点，求|AB|．

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9．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为
x=-1+tcosα
y=tsinα
（t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

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10．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为(
3
5
，
4
5
)，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜
2π
3
），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

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