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          共50条信息

            • 1．
              在含有\(n\)个元素的集合\(A_{n}=\{1,2,…,n\}\)中，若这\(n\)个元素的一个排列\((a_{1},a_{2},…,a_{n})\)满足\(a_{i}\neq i(i=1,2,…,n)\)，则称这个排列为集合\(A_{n}\)的一个错位排列\((\)例如：对于集合\(A_{3}=\{1,2,3\}\)，排列\((2,3,1)\)是\(A_{3}\)的一个错位排列；排列\((1,3,2)\)不是\(A_{3}\)的一个错位排列\().\)记集合\(A_{n}\)的所有错位排列的个数为\(D_{n}\)．
              \((1)\)直接写出\(D_{1}\)，\(D_{2}\)，\(D_{3}\)，\(D_{4}\)的值；
              \((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，试用\(D_{n-2}\)，\(D_{n-1}\)表示\(D_{n}\)，并说明理由；
              \((3)\)试用数学归纳法证明：\(D_{2n}(n∈N^{*})\)为奇数．
              难度：较易
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            • 2．
              \((1)\)用数学归纳法证明：当\(n∈N^{*}\)时，\(\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx= \dfrac {\sin (n+ \dfrac {1}{2})x}{2\sin \dfrac {1}{2}x}- \dfrac {1}{2}(x∈R\)，且\(x\neq 2kπ\)，\(k∈Z)\)；
              \((2)\)求\(\sin \dfrac {π}{6}+2\sin \dfrac {2π}{6}+3\sin \dfrac {3π}{6}+4\sin \dfrac {4π}{6}+…+2018\sin \dfrac {2018π}{6}\)的值．
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            • 3．
              \((1)\)已知\(a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})\)，比较\( \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}\)与\( \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}\)的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
              \((2)\)求证：\( \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)．
              难度：较易
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            • 4． 数列{an}满足an+5an+1=36n+18，n∈N*，且a1=4．
              （1）写出{an}的前3项，并猜想其通项公式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较易
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            • 5． 已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，记其前n项和为Sn，试用a1，d，n表示Sn，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 6．
              在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=\cos \dfrac {π}{3\times 2^{n-2}}(n∈N^{*})\)
              \((1)\)试将\(a_{n+1}\)表示为\(a_{n}\)的函数关系式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=1- \dfrac {2}{n\cdot n!}(n∈N^{*})\)，猜想\(a_{n}\)与\(b_{n}\)的大小关系，并证明你的结论．
              难度：较易
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列，记其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，试用\(a_{1}\)，\(d\)，\(n\)表示\(S_{n}\)，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 8．
              已知函数\(f_{0}(x)= \dfrac {cx+d}{ax+b}(a\neq 0,ac-bd\neq 0)\)，设\(f_{n}(x)\)为\(f_{n-1}(x)\)的导数，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)求\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)
              \((2)\)猜想\(f_{n}(x)\)的表达式，并证明你的结论．
              难度：较易
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            • 9．
              已知\(f_{n}(x)=C_{n}^{0}x^{n}-C_{n}^{1}(x-1)^{n}+…+(-1)^{k}C_{n}^{k}(x-k)^{n}+…+(-1)^{n}C_{n}^{n}(x-n)^{n}\)，其中\(x∈R\)，\(n∈N^{*}\)，\(k∈N\)，\(k\leqslant n\)．
              \((1)\)试求\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(f_{3}(x)\)的值；
              \((2)\)试猜测\(f_{n}(x)\)关于\(n\)的表达式，并证明你的结论．
              难度：较易
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            • 10． 下列代数式（其中k∈N*）能被9整除的是（　　）
              A．6+6•7k
              B．2+7k-1
              C．2（2+7k+1）
              D．3（2+7k）
              难度：较易
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