知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知{f_n（x）}满足 $f_%7B1%7D%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D%7D%28x%EF%BC%9E0%29$ ，f_n+1（x）=f₁（f_n（x））．
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表达式；
（2）用数学归纳法证明对f_n（x）的猜想．

难度：较易

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2．数列{a_n}满足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4．
（1）写出{a_n}的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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3．设数列{a_n}满足：a₁=1且a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）用数学归纳法证明不等式： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ＜n（n≥2，n∈N⁺）．

难度：较易

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4．用数学归纳法证明：1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

难度：较易

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5．用数学归纳法证明：对任意的n∈N^*， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%C3%973%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%C3%975%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282n-1%29%282n%2B1%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2n%2B1%7D$ ．

难度：较易

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6．已知数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ ， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D%2B1%7D$ ，
（Ⅰ）计算出a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}通项公式a_n，并用数学归纳法进行证明．

难度：较易

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7．用数学归纳法证明不等式 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B2%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3n%2B1%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7B25%7D%7B24%7D$ 对一切正整数n都成立．

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=-
2
3
，Sn+
1
Sn
+2=an(n≥2)．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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9．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

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10．比较2ⁿ与2n+1的大小并证明．

难度：较易

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