知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
在含有\(n\)个元素的集合\(A_{n}=\{1,2,…,n\}\)中，若这\(n\)个元素的一个排列\((a_{1},a_{2},…,a_{n})\)满足\(a_{i}\neq i(i=1,2,…,n)\)，则称这个排列为集合\(A_{n}\)的一个错位排列\((\)例如：对于集合\(A_{3}=\{1,2,3\}\)，排列\((2,3,1)\)是\(A_{3}\)的一个错位排列；排列\((1,3,2)\)不是\(A_{3}\)的一个错位排列\().\)记集合\(A_{n}\)的所有错位排列的个数为\(D_{n}\)．
\((1)\)直接写出\(D_{1}\)，\(D_{2}\)，\(D_{3}\)，\(D_{4}\)的值；
\((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，试用\(D_{n-2}\)，\(D_{n-1}\)表示\(D_{n}\)，并说明理由；
\((3)\)试用数学归纳法证明：\(D_{2n}(n∈N^{*})\)为奇数．

难度：较易

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3．
\((1)\)用数学归纳法证明：当\(n∈N^{*}\)时，\(\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx= \dfrac {\sin (n+ \dfrac {1}{2})x}{2\sin \dfrac {1}{2}x}- \dfrac {1}{2}(x∈R\)，且\(x\neq 2kπ\)，\(k∈Z)\)；
\((2)\)求\(\sin \dfrac {π}{6}+2\sin \dfrac {2π}{6}+3\sin \dfrac {3π}{6}+4\sin \dfrac {4π}{6}+…+2018\sin \dfrac {2018π}{6}\)的值．

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4．
\((1)\)已知\(a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})\)，比较\( \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}\)与\( \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}\)的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
\((2)\)求证：\( \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)．

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5．

用数学归纳法证明\(1+2+3+…+n^{2}= \dfrac {n^{4}+n^{2}}{2}\)，则当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)的基础上加上\((\)　　\()\)

A．\(k^{2}+1\)

B．\((k+1)^{2}\)

C．\( \dfrac {(k+1)^{4}+(k+1)^{2}}{2}\)

D．\((k^{2}+1)+(k^{2}+2)+(k^{2}+3)+…+(k+1)^{2}\)

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6．
\((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}} > x+ \dfrac {1}{x}\)；
\((2)\)用数学归纳法证明\( \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{3n}\geqslant \dfrac {5}{6}(n∈N^{*}).\)

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7．

用数学归纳法证明不等式\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1} < n(n∈N*\)，且\(n > 1)\)时，第一步应证明下述哪个不等式成立

A．\(1 < 2\)

B．\(1+\dfrac{1}{2} < 2\)

C．\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} < 2\)

D．\(1+\dfrac{1}{3} < 2\)

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8．
一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图\(①\)，\(②\)，\(③\)，\(④\)分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为\(f(n)\)．

\((1)\)求出\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；

\((2)\)利用归纳推理，归纳出\(f(n+1)\)与\(f(n)\)的关系式；

\((3)\)猜想\(f(n)\)的表达式，并用数学归纳法证明．

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9．
已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=1\)，且\(4{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+2{{a}_{n}}=9\ (n\in {{N}^{*}})\)．

\((1)\)求\({a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)的值；

\((2)\)由\((1)\)猜想\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式，并给出证明．

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10．
已知点\(P_{n}(a_{n},b_{n})\)满足\(a_{n+1}=a_{n}·b_{n+1}\)，\({{b}_{n+1}}=\dfrac{{{b}_{n}}}{1-4a_{n}^{2}}(n\in {{N}^{*}})\)，且点\(P_{1}\)的坐标为\((1,-1)\)，

\((1)\)求过点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)的直线\(l\)的方程；

\((2)\)试用数学归纳法证明：对于\(n∈N^{*}\)，点\(P_{n}\)都在\((1)\)中的直线\(l\)上．

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