知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知函数\(f(x)=ax^{2}+mx+m-1(a\neq 0)\)．
\((1)\)若\(f(-1)=0\)，判断函数\(f(x)\)的零点个数；
\((2)\)若对任意实数\(m\)，函数\(f(x)\)恒有两个相异的零点，求实数\(a\)的取值范围；
\((3)\)已知\(x_{1}\)，\(x_{2}∈R\)且\(x_{1} < x_{2}\)，\(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)，求证：方程\(f(x)= \dfrac {1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]\)在区间\((x_{1},x_{2})\)上有实数根．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)=\ln (1+mx)+ \dfrac {x^{2}}{2}-mx\)，其中\(0 < m\leqslant 1\)．
\((1)\)若\(m=1\)，求证：\(-1 < x\leqslant 0\)时，\(f(x)\leqslant \dfrac {x^{3}}{3}\)；
\((2)\)试讨论函数\(y=f(x)\)的零点个数．

难度：中等

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4．

函数\(f(x)=|x-2|-\ln x\)在定义域内零点的个数为\((\)　　\()\)

A．\(0\)

B．\(1\)

C．\(2\)

D．\(3\)

难度：中等

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5．

对于函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，设\(α∈\{x∈R|f(x)=0\}\)，\(β∈\{x∈R|g(x)=0\}\)，若存在\(α\)、\(β\)，使得\(|α-β|\leqslant 1\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)互为“零点关联函数”\(.\)若函数\(f(x)=e^{x-1}+x-2\)与\(g(x)=x^{2}-ax-a+3\)互为“零点关联函数”，则实数\(a\)的取值范围为\((\)　　\()\)

A．\([ \dfrac {7}{3},3]\)

B．\([2, \dfrac {7}{3}]\)

C．\([2,3]\)

D．\([2,4]\)

难度：中等

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6．
已知函数\(f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R)\)．
\((1)\)当\(b=-1\)时，函数\(f(x)\)恰有两个不同的零点，求实数\(a\)的值；
\((2)\)当\(b=1\)时，
\(①\)若对于任意\(x∈[1,3]\)，恒有\( \dfrac {f(x)}{x}\leqslant 2 \sqrt {x+1}\)，求\(a\)的取值范围；
\(②\)若\(a > 0\)，求函数\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值\(g(a)\)．

难度：中等

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7．

函数\(f(x)=e^{x}- \dfrac {1}{x}\)的零点所在的区间是\((\)　　\()\)

A．\((0,\; \dfrac {1}{2})\)

B．\(( \dfrac {1}{2},\;1)\)

C．\((1,\; \dfrac {3}{2})\)

D．\(( \dfrac {3}{2},\;2)\)

难度：中等

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8．

已知函数\(f(x)=(ax+\ln x)(x-\ln x)-x^{2}\)有三个不同的零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}(\)其中\(x_{1} < x_{2} < x_{3})\)，则\((1- \dfrac {\ln x_{1}}{x_{1}})^{2}(1- \dfrac {\ln x_{2}}{x_{2}})(1- \dfrac {\ln x_{3}}{x_{3}})\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(1-a\)

B．\(a-1\)

C．\(-1\)

D．\(1\)

难度：中等

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9．
已知函数\(f(x)=|\log _{a}|x-1||(a > 0,a\neq 1)\)，若\(x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}\)，且\(f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=f(x_{4})\)，则\( \dfrac {1}{x_{1}}+ \dfrac {1}{x_{2}}+ \dfrac {1}{x_{3}}+ \dfrac {1}{x_{4}}=\) ______ ．

难度：中等

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10．

定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)，当\(x\geqslant 0\)时，
\(f(x)= \begin{cases} \log _{ \frac {1}{2}}(x+1),x∈[0,1) \\ 1-|x-3|,x∈[1,+∞)\end{cases}, \)
则关于\(x\)的函数\(F(x)=f(x)-a(0 < a < 1)\)的所有零点之和为\((\)　　\()\)

A．\(1-2^{a}\)

B．\(2^{a}-1\)

C．\(1-2^{-a}\)

D．\(2^{-a}-1\)

难度：中等

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