知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f(x)=
lnx+2x
x2
，求f′（1）= ．

难度：中等

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2．已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式
f(x)
ex
＞
f(1)
e
的解集是．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax⁴+x³+bx²+2x+c（其中a、b、c为常数）为奇函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（2）= ．

难度：中等

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4．对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，计算
f(
1
2017
)+f(
2
2017
)+f(
3
2017
)+…+f(
2016
2017
)= ．

难度：中等

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5．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当Tn≥
m
20
对所有n∈N^*都成立m取值范围．

难度：中等

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6．设函数f₀（x）=sinx-cosx，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N，则f2013(
π
3
)= ．

难度：中等

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7．已知等比数列{a_n}，满足a₁=1，a₂₀₁₆=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₆），那么f′（0）= ．

难度：中等

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8．求下列函数的导数．
（1）y=x²sinx；
（2）y=3^xe^x-2^x+e；
（3）y=
lnx
x2+1
；
（4）y=cos³2x+e^x．

难度：中等

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9．计算
（1）
∫
3
-3
（
9-x2
-x³）dx的值．
（2）
∫
3
-3
（|x+1|+|x-1|-4）dx；
（3）
∫
b
a
(x-a)(b-x)
dx（b＞a）
（4）
∫
π
2
-
π
2
（sin³xcosx）dx；
（5）
∫
2
1
1
x(x+1)
dx．

难度：中等

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10．若一物体运动方程如下（位移：m，时间：s）
s=
3t2+2，t≥3
29+3(t-3)2，0≤t＜3

求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体的初速度V₀；
（3）物体在t=1时的瞬时速度．

难度：中等

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