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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}+(-1)^{n}a_{n}= \dfrac {n+5}{2}(n∈N^{*})\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((1)\)求\(a_{1}+a_{3}\)的值；
              \((2)\)若\(a_{1}+a_{5}=2a_{3}\)．
              \(①\)求证：数列\(\{a_{2n}\}\)为等差数列；
              \(②\)求满足\(S_{2p}=4S_{2m}(p,m∈N^{*})\)的所有数对\((p,m)\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}+n=2a_{n}(n∈N*)\)．
              \((1)\)证明：数列\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=na_{n}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足不等式\( \dfrac {T_{n}-2}{n} > 2018\)的\(n\)的最小值．
              难度：中等
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            • 3．
              设\(S_{n}\)为正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，满足\(2S_{n}=a \;_{ n }^{ 2 }+a_{n}-2\)．
              \((I)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((II)\)若不等式\((1+ \dfrac {2}{a_{n}+t})\;^{a_{n}}\geqslant 4\)对任意正整数\(n\)都成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((III)\)设\(b_{n}=e\;^{ \frac {3}{4}a_{n}\ln (n+1)}(\)其中\(r\)是自然对数的底数\()\)，求证：\( \dfrac {b_{1}}{b_{3}}+ \dfrac {b_{2}}{b_{4}}+..+ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}} < \dfrac { \sqrt {6}}{6}\)．
              难度：中等
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(|a_{n+1}-a_{n}|=p^{n}\)，\(n∈N*\)．
              \((1)\)若\(p=1\)，写出\(a_{4}\)的所有值；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列，且\(a_{1}\)，\(2a_{2}\)，\(3a_{3}\)成等差数列，求\(p\)的值；
              \((3)\)若\(p= \dfrac {1}{2}\)，且\(\{a_{2n-1}\}\)是递增数列，\(\{a_{2n}\}\)是递减数列，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：中等
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            • 5．
              设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{0}= \dfrac {1}{2}\)，\(a_{n+1}=a_{n}+ \dfrac { a_{ n }^{ 2 }}{2018}(n=0,1,2…)\)，若使得\(a_{k} < 1 < a_{k+1}\)，则正整数\(k=\) ______ ．
              难度：中等
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            • 6．
              若\(\{c_{n}\}\)是递增数列，数列\(\{a_{n}\}\)满足：对任意\(n∈N^{*}\)，存在\(m∈N^{*}\)，使得\( \dfrac {a_{m}-c_{n}}{a_{m}-c_{n+1}}\leqslant 0\)，则称\(\{a_{n}\}\)是\(\{c_{n}\}\)的“分隔数列”
              \((1)\)设\(c_{n}=2n\)，\(a_{n}=n+1\)，证明：数列\(\{a_{n}\}\)是\(\{c_{n}\}\)的分隔数列；
              \((2)\)设\(c_{n}=n-4\)，\(S_{n}\)是\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(d_{n}=c_{3n-2}\)，判断数列\(\{S_{n}\}\)是否是数列\(\{d_{n}\}\)的分隔数列，并说明理由；
              \((3)\)设\(c_{n}=aq^{n-1}\)，\(T_{n}\)是\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和，若数列\(\{T_{n}\}\)是\(\{c_{n}\}\)的分隔数列，求实数\(a\)，\(q\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．
              在平面直角坐标系中，点列\(P_{n}(x_{n},y_{n})(n∈N^{+})\)的坐标满足 \(x_{1}=0\)，\(y_{1}=1\)，\( \begin{cases} \overset{x_{n+1=}y_{n}+x_{n}}{y_{n+1}=y_{n}-x_{n}}\end{cases}\)，设\(a_{n}=|P_{n}P_{n+1}|\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，那么\(S_{8}\)的值为\((\)　　\()\)
              A．\(15(2- \sqrt {2})\)
              B．\(15(2+ \sqrt {2})\)
              C．\(15( \sqrt {2}+1)\)
              D．\(15( \sqrt {2}-1)\)
              难度：中等
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            • 8．
              对任意数列\(A\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，\(…\)，定义\(\triangle A\)为数列\(a_{2}-a_{1}\)，\(a_{3}-a_{2}\)，\(a_{4}-a_{3}\)，\(…\)，\(a_{n+1}-a_{n}\)，\(…\)，如果数列\(A\)使得数列\(\triangle (\triangle A)\)的所有项都是\(1\)，且\(a_{12}=a_{22}=0\)，则\(a_{2}=\) ______ ．
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=2a_{n}-n\)．
              \((1)\)求证\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列；
              \((2)\)求数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 10．
              设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a \;_{ n }^{ 2 }=a_{n+1}a_{n-1}+λ(a_{2}-a_{1})^{2}\)，其中\(n\geqslant 2\)，且\(n∈N\)，\(λ\)为常数．
              \((1)\)若\(\{a_{n}\}\)是等差数列，且公差\(d\neq 0\)，求\(λ\)的值；
              \((2)\)若\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=4\)，且存在\(r∈[3,7]\)，使得\(m⋅a_{n}\geqslant n-r\)对任意的\(n∈N*\)都成立，求\(m\)的最小值；
              \((3)\)若\(λ\neq 0\)，且数列\(\{a_{n}\}\)不是常数列，如果存在正整数\(T\)，使得\(a_{n+T}=a_{n}\)对任意的\(n∈N*\)均成立\(.\)求所有满足条件的数列\(\{a_{n}\}\)中\(T\)的最小值．
              难度：中等
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