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          共50条信息

            • 1．
              设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{2014} > 0\)，\(S_{2015} < 0\)，对任意正整数\(n\)，都有\(|a_{n}|\geqslant |a_{k}|\)，则\(k\)的值为\((\)　　\()\)
              A．\(1006\)
              B．\(1007\)
              C．\(1008\)
              D．\(1009\)
              难度：中等
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            • 2．
              函数\(y= \sqrt {9-(x-5)^{2}}\)的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {3}{4}\)
              B．\( \sqrt {2}\)
              C．\( \sqrt {3}\)
              D．\( \sqrt {5}\)
              难度：中等
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对任意的\(n∈N*\)，均有\(S_{n}=a_{n+k}-k(k\)是常数，且\(k∈N*)\)成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”．
              \((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(1)\)数列”，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(2)\)数列”，且\(a_{2}\)为整数，试问：是否存在数列\(\{a_{n}\}\)，使得\(|a \;_{ n }^{ 2 }-a_{n-1}a_{n+1}|\leqslant 40\)对一切\(n\geqslant 2\)，\(n∈N*\)恒成立？如果存在，求出这样数列\(\{a_{n}\}\)的\(a_{2}\)的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
              \((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”，且\(a_{1}=a_{2}=…=a_{k}=1\)，证明：\(a_{n+2k}\geqslant (1+ \dfrac {1}{2^{k-1}})^{n-k}\)．
              难度：中等
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            • 4．
              如果\(n\)项有穷数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=a_{n}\)，\(a_{2}=a_{n-1}\)，\(…\)，\(a_{n}=a_{1}\)，即\(a_{i}=a_{n-i+1}(i=1,2,…,n)\)，则称有穷数列\(\{a_{n}\}\)为“对称数列”\(.\)例如，由组合数组成的数列\( C_{ n }^{ 0 }, C_{ n }^{ 1 },…, C_{ n }^{ n-1 }, C_{ n }^{ n }\)就是“对称数列”．
              \((\)Ⅰ\()\)设数列\(\{b_{n}\}\)是项数为\(7\)的“对称数列”，其中\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{4}\)成等比数列，且\(b_{2}=3\)，\(b_{5}=1.\)依次写出数列\(\{b_{n}\}\)的每一项；
              \((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{c_{n}\}\)是项数为\(2k-1(k∈N^{*}\)且\(k\geqslant 2)\)的“对称数列”，且满足\(|c_{n+1}-c_{n}|=2\)，记\(S_{n}\)为数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和；
              \((ⅰ)\)若\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(…c_{k}\)是单调递增数列，且\(c_{k}=2017.\)当\(k\)为何值时，\(S_{2k-1}\)取得最大值？
              \((ⅱ)\)若\(c_{1}=2018\)，且\(S_{2k-1}=2018\)，求\(k\)的最小值．
              难度：中等
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            • 5． 已知数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=2(b_{n+1}-b_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)若\(b_{n}=3n+5\)，且\(a_{1}=1\)，求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(\{a_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项，即\(a_{n\_{0}}\geqslant a_{n}(n∈N*)\)，求证：\(\{b_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项；
              \((3)\)设\(a_{1}=3λ < 0\)，\(b_{n}=λ^{n}(n∈N^{*})\)，求\(λ\)的取值范围，使得对任意\(m\)，\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\neq 0\)，且\( \dfrac {a_{m}}{a_{n}}∈( \dfrac {1}{6},6)\)．
              难度：中等
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            • 6．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{1}}=3\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{1-{{a}_{n}}}\)，则\({{a}_{2020}}=(\)    \()\)

              A． \(3\)
              B．\(-\dfrac{1}{2}\)
              C．\(\dfrac{2}{3}\)
              D．\(\dfrac{3}{2}\)
              难度：中等
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            • 7． 设 为等差数列， ，公差 ，则使前 项和 取得最大值时 \(=(\)    \()\)
              A．\(4\)或\(5\)      
              B．\(5\)或\(6\)        
              C．\(6\)或\(7\)       
              D．\(8\)或\(9\)
              难度：中等
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            • 8．

              己知数列\(\{a_{n}\}\)满足\({{a}_{n}}=\begin{cases} & (1-3a)n+10a,n\leqslant 6 \\ & {{a}^{n-7}},n < 6 \end{cases}(n∈N^{+})\)，若\(\{a_{n}\}\)是递减数列，则实数\(a\)的取值范围是\((\)    \()\)

              A．\((\dfrac{1}{3},1)\)
              B．\((\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})\)
              C．\((\dfrac{5}{8},1)\)
              D．\((\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{8})\)
              难度：中等
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            • 9．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{1-{{a}_{n}}}(n∈N*)\)，\(a_{8}=2\)，则\(a_{1}\)的值为\((\)    \()\)

              A．\(-1\)
              B．\(1\)
              C．\(\dfrac{1}{2}\)．
              D．\(2.\)
              难度：中等
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            • 10．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\({a}_{n}=\left(n+2\right)·{\left( \dfrac{3}{4}\right)}^{n} \)，则数列\(\{a_{n}\}\)的项取最大值时，\(n=\)_____．

              难度：中等
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