知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量
a
=（n，S_n），
b
=（4，n+3）共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{
1
nan
}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知点A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x轴上，满足a₁=1，a₂=5且
AnAn+1
=
1
2
An-1An
（n=2，3，…）．点B₁（b₁，c₁），B₂（b₂，c₂），…B_n（b_n，c_n），…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|
OBn
|=|
OBn-1
|+2
2
|（n=2，3，…）
（1）用n表示B_n的坐标；
（2）用n表示A_n的坐标；
（3）设S_n为数列{a_n+b_n}的前n项和，求S_n．

难度：中等

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3．已知向量
a1
=(1，-7)，
d
=(1，1)，对任意n∈N^*都有
an+1
=
an
+
d
．
（1）求|
an
|的最小值；
（2）求正整数m，n，使
am
⊥
an
．

难度：中等

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4．已知向量
a
=(sin
ωx
2
，
1
2
)，
b
=(cos
ωx
2
，-
3
2
)，ω＞0，x≥0，函数f(x)=
a
•
b
的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从小到大依次计数），所有x_n组成数列{x_n}．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若ω=2，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

难度：中等

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5．等差数列{a_n}的前n项和是S_n，且a₂=2，S₄=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，若
m
=(4，s 2)，
n
=(4k，-s3)，且
m
∥
n
，求实数k的值．

难度：中等

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设
u
=（4，S₂），
v
=（4k，-S₃），若
u
∥
v
，求实数k的值．

难度：中等

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7．已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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8．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，
a
=（S_n，1），
b
=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），
a
⊥
b
．
（1）证明：数列{
an
2n
}为等差数列；
（2）若bn=
n-2011
n+1
an，且存在n₀，对于任意的k（k∈N₊），不等式bk≤bn0成立，求n₀的值．

难度：中等

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9．设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-
π
2
，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）满足：向量
AnAn+1
与向量
BnCn
共线，且点列{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，a₁=a，b₁=-a．
（1）试用a与n表示a_n（n≥2）；
（2）若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，试求a的取值范围．

难度：中等

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