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          共50条信息

            • 1．
              已知实数\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，\(a+6\)，\(b+2\)，\(c+1\)成等差数列，则\(b\)的最大值为 ______ ．
              难度：中等
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            • 2．
              对于数列\(A\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，若满足\(a_{i}∈\{0,1\}(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n)\)，则称数列\(A\)为“\(0-1\)数列”\(.\)若存在一个正整数\(k(2\leqslant k\leqslant n-1)\)，若数列\(\{a_{n}\}\)中存在连续的\(k\)项和该数列中另一个连续的\(k\)项恰好按次序对应相等，则称数列\(\{a_{n}\}\)是“\(k\)阶可重复数列”，例如数列\(A\)：\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(0.\)因为\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)与\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)，\(a_{7}\)按次序对应相等，所以数列\(\{a_{n}\}\)是“\(4\)阶可重复数列”．
              \((\)Ⅰ\()\)分别判断下列数列\(A\)：\(1\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(1.\)是否是“\(5\)阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这\(5\)项；
              \((\)Ⅱ\()\)若项数为\(m\)的数列\(A\)一定是“\(3\)阶可重复数列”，则\(m\)的最小值是多少？说明理由；
              \((III)\)假设数列\(A\)不是“\(5\)阶可重复数列”，若在其最后一项\(a_{m}\)后再添加一项\(0\)或\(1\)，均可使新数列是“\(5\)阶可重复数列”，且\(a_{4}=1\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的最后一项\(a_{m}\)的值．
              难度：中等
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            • 3．
              定义“有增有减”数列\(\{a_{n}\}\)如下：\(∃t∈N^{*}\)，满足\(a_{t} < a_{t+1}\)，且\(∃s∈N^{*}\)，满足\(a_{S} > a_{S+1}.\)已知“有增有减”数列\(\{a_{n}\}\)共\(4\)项，若\(a_{i}∈\{x,y,z\}(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4)\)，且\(x < y < z\)，则数列\(\{a_{n}\}\)共有\((\)　　\()\)
              A．\(64\)个
              B．\(57\)个
              C．\(56\)个
              D．\(54\)个
              难度：中等
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            • 4．
              在\(n×n(n\geqslant 2)\)个实数组成的\(n\)行\(n\)列的数表中，\(a_{i,j}\)表示第\(i\)行第\(j\)列的数，记\(r_{i}=a_{i1}+a_{i2}+…+a_{in}(1\leqslant i\leqslant n).c_{j}=a_{1j}+a_{2j}+…+a_{nj}(1\leqslant j\leqslant n)\)若\(a_{i,j}∈\{-1,0,1\}\) \(((1\leqslant i,j\leqslant n))\)，且\(r_{1}\)，\(r_{2}\)，\(…\)，\(r_{n}\)，\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(..\)，\(c_{n}\)，两两不等，则称此表为“\(n\)阶\(H\)表”，记\(H=\{\) \(r_{1}\)，\(r_{2}\)，\(…\)，\(r_{n}\)，\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(..\)，\(c_{n}\}.\)
              \((I)\)请写出一个“\(2\)阶\(H\)表”；
              \((II)\)对任意一个“\(n\)阶\(H\)表”，若整数\(λ∈[-n,n]\)，且\(λ∉H_{n}\)，求证：\(λ\)为偶数；
              \((\)Ⅲ\()\)求证：不存在“\(5\)阶\(H\)表”．
              难度：中等
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            • 5．
              数列\(A_{n}\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 4)\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=m\)，\(a_{k+1}-a_{k}=0\)或\(1(k=1,2,…,n-1).\)对任意\(i\)，\(j\)，都存在\(s\)，\(t\)，使得\(a_{i}+a_{j}=a_{s}+a_{t}\)，其中\(i\)，\(j\)，\(s\)，\(t∈\{1,2,…,n\}\)且两两不相等．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(m=2\)，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
              \(①1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(②1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(③1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)
              \((\)Ⅱ\()\)记\(S=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}.\)若\(m=3\)，证明：\(S\geqslant 20\)；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(m=2018\)，求\(n\)的最小值．
              难度：中等
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            • 6．
              设等比数列\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的公比为\(q\)，等差数列\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{4}\)的公差为\(d\)，且\(q\neq 1\)，\(d\neq 0.\)记\(c_{i}=a_{i}+b_{i}(i=1,2,3,4)\)．
              \((1)\)求证：数列\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(c_{3}\)不是等差数列；
              \((2)\)设\(a_{1}=1\)，\(q=2.\)若数列\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(c_{3}\)是等比数列，求\(b_{2}\)关于\(d\)的函数关系式及其定义域；
              \((3)\)数列\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(c_{3}\)，\(c_{4}\)能否为等比数列？并说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              对于任一实数序列\(A=\{a_{1},a_{2},a_{3}…\}\)，定义\(\triangle A\)为序列\(\{a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2},a_{4}-a_{3},…\}\)，它的第\(n\)项是\(a_{n+1}-a_{n}\)，假定序列\(\triangle (\triangle A)\)的所有项都是\(1\)，且\(a_{18}=a_{2017}=0\)，则\(a_{2018}=\) ______ ．
              难度：中等
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            • 8．
              给定无穷数列\(\{a_{n}\}\)，若无穷数列\(\{b_{n}\}\)满足：对任意\(n∈N^{*}\)，都有\(|b_{n}-a_{n}|\leqslant 1\)，则称\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)“接近”．
              \((1)\)设\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)，公比为\( \dfrac {1}{2}\)的等比数列，\(b_{n}=a_{n+1}+1\)，\(n∈N^{*}\)，判断数列\(\{b_{n}\}\)是否与\(\{a_{n}\}\)接近，并说明理由；
              \((2)\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前四项为：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=4\)，\(a_{4}=8\)，\(\{b_{n}\}\)是一个与\(\{a_{n}\}\)接近的数列，记集合\(M=\{x|x=b_{i},i=1,2,3,4\}\)，求\(M\)中元素的个数\(m\)；
              \((3)\)已知\(\{a_{n}\}\)是公差为\(d\)的等差数列，若存在数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)接近，且在\(b_{2}-b_{1}\)，\(b_{3}-b_{2}\)，\(…\)，\(b_{201}-b_{200}\)中至少有\(100\)个为正数，求\(d\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(A\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 2)\)满足\(a_{i}∈N^{*}\)且\(1\leqslant a_{i}\leqslant i(i=1,2,…,n)\)，数列\(B\)：\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(…\)，\(b_{n}(n\geqslant 2)\)满足\(b_{i}=τ(a_{i})+1(i=1,2,…,n)\)，其中\(τ(a_{1})=0\)，\(τ(a_{i})(i=1,2,…,n)\)表示\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{i-1}\)中与\(a_{i}\)不相等的项的个数．
              \((\)Ⅰ\()\)数列\(A\)：\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，请直接写出数列\(B\)；
              \((\)Ⅱ\()\)证明：\(b_{i}\geqslant a_{i}(i=1,2,…,n)\)
              \((\)Ⅲ\()\)若数列\(A\)相邻两项均不相等，且\(B\)与\(A\)为同一个数列，证明：\(a_{i}=i(i=1,2,…,n)\)．
              难度：中等
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            • 10．
              在数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)是整数，且\(a_{n}= \begin{cases} \overset{5a_{n-1}-3a_{n-2},a_{n-1}\cdot a_{n-2}{为偶数}}{a_{n-1}-a_{n-2},a_{n-1}\cdot a_{n-2}{为奇函数}}\end{cases}\)，\((n∈N^{*}\)，且\(n\geqslant 3)\)
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，写出\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若在数列\(\{a_{n}\}\)的前\(2018\)项中，奇数的个数为\(t\)，求\(t\)得最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}\)是奇数，\(a_{2}=3a_{1}\)，证明：对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\)不是\(4\)的倍数．
              难度：中等
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