知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=3，a₃=a₂²-27．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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2．若向量
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
，得到y=g（x）的图象，当x∈(
π
2
，
7π
4
)时，y=g（x）与y=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．

难度：中等

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3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

难度：中等

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4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．
（1）若sin²B-sinAsinC，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求sin2
C
2
+
3
sin
A
2
cos
A
2
-
1
2
的取值范围．

难度：中等

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5．已知
m
=(sinA，cosA)，
n
=(-sinB，cosB)，
m
•
n
=cos2c，且A、B、C分别为a、b、c 三边所对的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且
CA
•(
AB
-
AC
)=18，求a+b的值．

难度：中等

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6．已知等差数列{a_n}中，a₁+a₅+a₉=
π
4
，则sin（a₄+a₆）= ．

难度：中等

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7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且sinA+sinC=
3
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求4sinAcosC的取值范围．

难度：中等

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8．设函数f（x）=
π
2
-cosx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}．
（1）求数列{x_n}；
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

难度：中等

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9．已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+
π
4
），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），设T_n=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若T_n＞m对x≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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10．已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+
π
4
），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），设T_n=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若T_n＞m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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