知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，设向量
a
=(sinθ，-
1
2
)，
b
=(cosθ，
1
4
)，其中θ∈（0，π）．
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）设ϕ∈(0，
π
2
)，且sin(ϕ+
π
2
)+cos(ϕ-
3π
2
)=0，若sinθcosϕ+cosθsinϕ=
10
4
，求证：
a
⊥
b
．

难度：中等

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2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．
（1）若点O满足2
OA
+
OB
+
OC
=
0
，求证：
AO
=
OD
；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．

难度：中等

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3．在△ABC中，设
AB
=
a
，
BC
=
b
，
CA
=
c
，若
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
a
，求证：△ABC是等边三角形．

难度：中等

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4．平面内有一个△ABC和一点O（如图），线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
．
（1）试用
a
，
b
，
c
表示向量
EL
，
FM
，
GN
；
（2）证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．

难度：中等

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5．已知点G是△ABC的重心，在线段AC上取一点E，在线段AB上取一点F，若EF过G．求证：
|BF|
|FA|
+
|CE|
|EA|
=1．

难度：中等

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6． O为△ABC内任意一点，如图所示，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．求证：
OA
+
OB
+
OC
=
OD
+
OE
+
OF
．

难度：中等

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7．设点M为△ABC的三条中线的交点，O为△ABC所在平面内任意一点，证明：
OA
+
OB
+
OC
=3
OM
．

难度：中等

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