知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
若对于定义在$R$上的函数$f(x)$，其图象是连续不断的，且存在常数$λ(λ∈R)$使得$f(x+λ)+λf(x)=0$对任意实数$x$都成立，则称$f(x)$是一个“$λ-$伴随函数”$.$有下列关于“$λ-$伴随函数”的结论：

$①f(x)=0$是常数函数中唯一的“$λ-$伴随函数”；

$②f(x)=x$不是“$λ-$伴随函数”；

$③f(x)=x^{2}$是一个“$λ-$伴随函数”；

$④$“$ \dfrac{1}{2}-$伴随函数”至少有一个零点．

其中不正确的是________$.($填序号$)$

难度：中等

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2．

已知集合$M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y=f(x)\right\} $，若对于任意实数对$\left({x}_{1},{y}_{1}\right)∈M $，存在$\left({x}_{2},{y}_{2}\right)∈M $，使${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0 $，则称集合$M$是“垂直对点集”$.$给出下列四个集合：

$①M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y= \dfrac{1}{{x}^{2}}\right\} $；$②M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y={\log }_{2}x\right\} $；$③M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y={2}^{x}-2\right\} $；$④M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y=\sin x+1\right\} $ ．

其中是“垂直对点集”的序号是( )

A．$①②③$

B．$①②④$

C．$①③④$

D．$②③④$

难度：中等

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3．已知二次函数f（x）=x²+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．

难度：中等

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4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dlog_%7B2%7D%28x%2B1%29%EF%BC%8Cx%E2%89%A50%20%5C%5C%20g%28x%29%EF%BC%8Cx%EF%BC%9C0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ ，则g[f（-7）]=（　　）

A．3

B．-3

C．2

D．-2

难度：中等

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5．

设函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且$f(x)= \begin{cases}\log _{2}(x+1),x\geqslant 0 \\ g(x),x < 0\end{cases}$，则$g[f(-7)]=($　　$)$

A．$3$

B．$-3$

C．$2$

D．$-2$

难度：中等

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6．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足条件f（2+x）=f（2-x），其图象的顶点为A，又图象与x轴交于点B、C，其中B点的坐标为（-1，0），△ABC的面积S=54，试确定这个二次函数的解析式．

难度：中等

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7．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（x∈N^*，x≤15），设最低的购买费用是f（x）元，则f（x）的解析式是．

难度：中等

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8．从甲城市到乙城市m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×(
3
4
[m]+
7
4
)给出，其中m＞0，[m]表示不大于m的最大整数（如[3]=3，[3.9]=3，[3，1]=3），则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为元．

难度：中等

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9．若f（sinx）=3-cos2x，则f（cosx）= ．

难度：中等

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