知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的通项公式a_n=
1
(n+1)2
（n∈N^*），记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值；
（2）试用数学归纳法证明你的推测．

难度：中等

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2．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表达式
（3）求证：1≤
1
f(1)
+
1
f(2)-1
+
1
f(3)-1
+…+
1
f(n)-1
＜
3
2
．

难度：中等

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3．猜想
11…1
2n个
-
22…2
n个
（n∈N^*）的值．

难度：中等

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4．晚自习结束后，几位同学在一起讨论问题，小李看到小杨把三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ错写成了cos（α+β）=cosα-sinβ．爱思考的他给大家提出了以下几个问题：
（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定成立吗？请说明理由；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定不成立吗？请说明理由；
（3）等式cos（α+β）=cosα-sinβ何时成立？请说明理由．
经过一番热烈的讨论后，熄灯前几位同学得出了一致的结论，结束了讨论，现在，请你也来试一试吧!

难度：中等

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5．观察等式sin20°+sin24°+sin20°•sin40°=
3
4
；sin²28°+sin²32°+sin28°•sin32°=
3
4
；请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．

难度：中等

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6．构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1）…，在每一组的相邻两个数组之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，
1
4
），设第n组有a_n个数，且这a_n个数的和为S_n（n∈N^*）．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：
a1-1
S1
+
a2-1
S2
+…+
an-1
Sn
≥
n
2
．

难度：中等

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7．如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A₁B₁C₁D₁；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形A₂B₂C₂D₂；如此无限继续下去，设各正方形的边长依大小顺序构成数列{a_n}．
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，请说明理由；并求出所有正方形的周长之和．

难度：中等

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8．依次计算数列：（1-
1
4
），（1-
1
4
）（1-
1
9
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
），…的前4项的值，由此猜想（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
）…（1-
1
(n+1)2
）（n∈N^*）的结果，并用数字归纳法加以证明．

难度：中等

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9．（1）求证：cos
π
5
•cos
2
5
π=
1
4
；
（2）求证：cos20°•cos40°•cos80°=
1
8
．
（3）由（1）（2）两题概括出一般规律，并证明．

难度：中等

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10．已知有如下等式：
①tan5°tan15°+tan15°tan70°+tan5°tan70°=a；
②tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=a；
③tan15°tan35°+tan35°tan40°+tan15°tan40°=a；
④tan20°tan45°+tan45°tan25°+tan20°tan25°=a．
（1）观察以上式子的规律并用特殊值求出a的值；
（2）归纳出一般的等式并证明．

难度：中等

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