知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设A_2n=（a₁，a₂，…，a_2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②a₁+a₂+…+a_2n=0；③a₁+a₂+…+a_i≥0，i=1，2，…，2n-1．
（Ⅰ）当n=3时，写出满足题设条件的全部A₆；
（Ⅱ）设n=2k-1，其中k∈N^*，求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数n，求A_2n的个数．

难度：中等

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2．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足 $a_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bi%2B%28j-i-1%29n%2Ci%3Cj%7D%7Bi%2B%28n-i%2Bj-1%29n%2Ci%5Cgeq%20j%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证： $%CE%BB%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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3．已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Ba%2Bx%7D%28x%E2%89%A0-a%29$ ，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1， $a_%7Bn%2B1%7D%3Df%28a_%7Bn%7D%29%EF%BC%8C%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

难度：中等

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4．观察下列等式：
1=1                     第一个式子
2+3+4=9                 第二个式子
3+4+5+6+7=25            第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

难度：中等

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5．
观察下列等式：
$1=1$                     第一个式子
$2+3+4=9$                 第二个式子
$3+4+5+6+7=25$            第三个式子
$4+5+6+7+8+9+10=49$       第四个式子
照此规律下去：
$($Ⅰ$)$写出第五个等式；
$($Ⅱ$)$你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

难度：中等

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6．（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；

（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式b_n

（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为a_n（n=1，2，3，…），设 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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7．对于数对序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），（a_i，b_i∈R⁺，i=1，2，3，…，n），记f₀（y）=0（y≥0），f_k（y）= $%20maxx_%7Bk%7D%3D0%EF%BC%8C1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cm$ {b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过 $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Ba_%7Bk%7D%7D$ 的最大整数．（注： $%20maxx_%7Bk%7D%3D0%EF%BC%8C1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cm$ {b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}表示当x_k取0，1，2，3，…，m时，b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）中的最大数）
已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：
（Ⅰ）写出f₁（7）的值；
（Ⅱ）求f₂（7）的值，以及此时的x₁，x₂的值；
（Ⅲ）求得f₃（11）的值时，得到x₁=4，x₂=0，x₃=1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．

难度：中等

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8．如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x₁，x₂，…x_k，其中x_i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x₀；
（1）当k=4时，若要求x₀为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求x₀为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

难度：中等

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9．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D$
（1）由 $f%282%29%3D%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$ ， $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D$ ， $f%283%29%3D%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B10%7D$ ， $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B10%7D$ 这几个函数值，你能发现f（x）与 $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%29$ 有什么关系？并证明你的结论；
（2）求 $f%281%29%2Bf%282%29%2Bf%283%29%2B%E2%80%A6%2Bf%282010%29%2Bf%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%2Bf%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%2B%E2%80%A6%2Bf%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2010%7D%29$ 的值；
（3）判断函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D$ 在区间（0，+∞）上的单调性．

难度：中等

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10．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．
试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

难度：中等

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