知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a_n}为“斐波那契”数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，则
（Ⅰ）S₇= ；
（Ⅱ）若a₂₀₁₇=m，则S₂₀₁₅= ．（用m表示）

难度：中等

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2．观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=（　　）

A．28

B．76

C．123

D．199

难度：中等

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3．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（　　）

A．76

B．80

C．86

D．92

难度：中等

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4．观察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=2²×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=2³×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为

难度：中等

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5．已知x＞0，观察下列几个不等式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；…；归纳猜想一般的不等式为．

难度：中等

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6．（2016•江苏模拟）设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁，第二层两个数a₂和a₃，第三层三个数a₄，a₅和a₆，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃，a₂=a₄+a₅，a₃=a₅+a₆，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

难度：中等

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7．考察下列等式：
cos
π
4
+isin
π
4
=a₁+b₁i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）²=a₂+b₂i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）³=a₃+b₃i，
…
（cos
π
4
+isin
π
4
）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为．

难度：中等

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8．（1）计算：C

2013
2014
+A

3
5
；
（2）观察下面一组组合数等式：C

1
n
=nC

0
n-1
；2C

2
n
=nC

1
n-1
；3C

3
n
=nC

2
n-1
；…由以上规律，请写出第k（k∈N^*）个等式并证明．

难度：中等

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9．已知S₁=1•C₁⁰+2•C₁¹=3×2⁰S₂=1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²=4×2S₃=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³=5×2²…类比推理得出的一般结论是：S_n=1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+n•C_nⁿ= ．

难度：中等

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10．观察下表：

设第n行的各数之和为S_n，则
lim
n→∞
Sn
n
2

= ．

难度：中等

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