知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2sinx（
3
cosx+sinx）-2
（Ⅰ）若点P（
3
，-1）在角α的终边上，求f（α）的值
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最值．

难度：中等

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2．已知sinα=
4
5
，α为第二象限．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）设
a
=（sinα，cosα），
b
=（-3，4），求cos＜
a
，
b
＞．

难度：中等

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3．如图，两同心圆（圆心在原点）分别与OA、OB交于A、B两点，其中A（
2
，1），|OB|=
6
，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为
π
2
．
（1）设角θ的始边为x轴的正半轴，终边为OA，求
tan(π-θ)cos(θ+
3π
2
)
sin(2θ-π)
的值；
（2）求点B的坐标．

难度：中等

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4．（2015春•永安市月考）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P、B在单位圆上，设∠AOP=θ，∠AOB=α，且
OQ
=
OA
+
OP
．
（Ⅰ）记四边形OAQP的面积为S，当0＜θ＜π时，
OA
.
OQ
+S求的最大值及此时θ的值；
（Ⅱ）若α≠
kπ
2
，θ≠kπ（k∈Z），且
OB
∥
OQ
，求证：tanα=tan
θ
2
．

难度：中等

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5．直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针旋转到OQ，使∠POQ=α，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）．
（Ⅰ）若P的横坐标为
3
5
，求
y
x
；
（Ⅱ）求x+y的取值范围．

难度：中等

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6．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求
OA
•
OQ
+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-
π
6
）的值．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（sinα，3），
b
=（cosα，1），且
a
∥
b
，求下列各式的值：
（1）tan（
π
4
+α）；
（2）4sin²α-sin2α．

难度：中等

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8．求使式子
cos2α
+tan（α+
π
4
）有意义的角α的集合．

难度：中等

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9．设O为坐标原点，P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂）为单位圆上两点，且∠P₁OP₂=θ，求证：x₁x₂+y₁y₂=cosθ．

难度：中等

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10．比较下列各组三角函数值的大小：
（1）sin35°，sin55°；
（2）cos
3π
5
，cos
4π
5
；
（3）tan1，tan2．

难度：中等

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