知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(A=(a_{i,j})_{n×n}= \begin{Bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & … & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & … & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n,1} & a_{n,2} & … & a_{n,n}\end{Bmatrix} \)是由\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n^{2}\)组成的\(n\)行\(n\)列的数表\((\)每个数恰好出现一次\()\)，\(n\geqslant 2\)且\(n∈N*\)．
若存在\(1\leqslant i\leqslant n\)，\(1\leqslant j\leqslant n\)，使得\(a_{i,j}\)既是第\(i\)行中的最大值，也是第\(j\)列中的最小值，则称数表\(A\)为一个“\(N-\)数表”\(a_{i,j}\)为数表\(A\)的一个“\(N-\)值”，
对任意给定的\(n\)，所有“\(N-\)数表”构成的集合记作\(Ω_{n}\)．
\((1)\)判断下列数表是否是“\(N-(2)\)数表”\(.\)若是，写出它的一个“\(N-(3)\)值”；\(A= \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{Bmatrix} \)，\(B= \begin{Bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 5 \\ 6 & 9 & 3\end{Bmatrix} \)；
\((\)Ⅱ\()\)求证：若数表\(A\)是“\(N-\)数表”，则\(A\)的“\(N-\)值”是唯一的；
\((\)Ⅲ\()\)在\(Ω_{19}\)中随机选取一个数表\(A\)，记\(A\)的“\(N-\)值”为\(X\)，求\(X\)的数学期望\(E(X)\)．

难度：中等

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2．
某协会对\(A\)，\(B\)两家服务机构进行满意度调查，在\(A\)，\(B\)两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了\(1000\)人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为\(60\)分．
整理评分数据，将分数以 \(10\) 为组距分成\(6\) 组：\([0,10)\)，\([10,20)\)，\([20,30)\)，\([30,40)\)，\([40,50)\)，\([50,60]\)，得到\(A\)服务机构分数的频数分布表，\(B\)服务机构分数的频率分布直方图：
\(A\)服务机构分数的频数分布表

分数区间频数

\([0,10)\) \(20\)

\([10,20)\) \(30\)

\([20,30)\) \(50\)

\([30,40)\) \(150\)

\([40,50)\) \(400\)

\([50,60]\) \(350\)

定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：

分数 \([0,30)\) \([30,50)\) \([50,60]\)

满意度指数 \(0\) \(1\) \(2\)

\((1)\)在抽样的\(1000\)人中，求对\(B\)服务机构评价“满意度指数”为\(0\)的人数；
\((2)\)从在\(A\)，\(B\)两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取\(1\)人进行调查，试估计其对\(B\)服务机构评价的“满意度指数”比对\(A\)服务机构评价的“满意度指数”高的概率；
\((3)\)如果从\(A\)，\(B\)服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．

难度：中等

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3．
共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广\(.\)最近，某机构在某地区随机采访了\(10\)名男士和\(10\)名女士，结果男士、女士中分别有\(7\)人、\(6\)人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
\((1)\)从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
\((2)\)从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望．

难度：中等

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4．
“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币\(20\)元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个\((\)摸完球后将球放回\()\)，若有一个红球，奖金\(10\)元，两个红球奖金\(20\)元，三个全为红球奖金\(100\)元．
\((1)\)求献爱心参与者中奖的概率；
\((2)\)若该次募捐有\(900\)为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．

难度：中等

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5．

某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为\(2:1.\)监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取\(5\)辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．

\((1)\)求抽取的\(5\)辆单车中有\(2\)辆是蓝色颜色单车的概率；

\((2)\)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过\(n(n∈{N}^{*} )\)次\(.\)在抽样结束时，已取到的黄色单车以\(ξ \)表示，求\(ξ \)的分布列和数学期望．

难度：中等

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6．
西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行\(.\)开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格\(.\)假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为\( \dfrac {2}{3}\)、\( \dfrac {2}{3}\)、\( \dfrac {1}{2}\)，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记\(4\)分、\(2\)分、\(4\)分，若某项指标不合格，则该项指标记\(0\)分，各项指标检测结果互不影响．
\((1)\)求该新技术检测得\(8\)分的概率；
\((2)\)记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列与数学期望．

难度：中等

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7．
自\(2016\)年\(1\)月\(1\)日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题\(.\)为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了\(200\)户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

产假安排\((\)单位：周\()\) \(14\) \(15\) \(16\) \(17\) \(18\)

有生育意愿家庭数 \(4\) \(8\) \(16\) \(20\) \(26\)

\((1)\)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为\(14\)周与\(16\)周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
\((2)\)假设从\(5\)种不同安排方案中，随机抽取\(2\)种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
\(①\)求两种安排方案休假周数和不低于\(32\)周的概率；
\(②\)如果用\(ξ\)表示两种方案休假周数和\(.\)求随机变量\(ξ\)的分布及期望．

难度：中等

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8．
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶\(4\)元，售价每瓶\(6\)元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶\(2\)元的价格当天全部处理完\(.\)根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温\((\)单位：\(℃)\)有关\(.\)如果最高气温不低于\(25\)，需求量为\(500\)瓶；如果最高气温位于区间\([20,25)\)，需求量为\(300\)瓶；如果最高气温低于\(20\)，需求量为\(200\)瓶\(.\)为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 \([10,15)\) \([15,20)\) \([20,25)\) \([25,30)\) \([30,35)\) \([35,40)\)

天数 \(2\) \(16\) \(36\) \(25\) \(7\) \(4\)

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
\((1)\)求六月份这种酸奶一天的需求量\(X(\)单位：瓶\()\)的分布列；
\((2)\)设六月份一天销售这种酸奶的利润为\(Y(\)单位：元\()\)，当六月份这种酸奶一天的进货量\(n(\)单位：瓶\()\)为多少时，\(Y\)的数学期望达到最大值？

难度：中等

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9．
某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有\(5\)名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的\(A\)、\(B\)两个小组所有同学所得分数\((\)百分制\()\)的茎叶图如图所示，其中\(B\)组一同学的分数已被污损，但知道\(B\)组学生的平均分比\(A\)组学生的平均分高\(1\)分．
\((\)Ⅰ\()\)若在\(A\)，\(B\)两组学生中各随机选\(1\)人，求其得分均超过\(86\)分的概率；
\((\)Ⅱ\()\)若校团委会在该班\(A\)，\(B\)两组学生得分超过\(80\)分的同学中随机挑选\(3\)人参加下一轮的参观学习活动，设\(B\)组中得分超过\(85\)分的同学被选中的个数为随机变量\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列和数学期望．

难度：中等

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10．
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取\(50\)个作为样本，称出它们的重量\((\)单位：克\()\)，重量分组区间为\([5,15]\)，\((15,25]\)，\((25,35]\)，\((35,45]\)，由此得到样本的重量频率分布直方图\((\)如图\()\)．
\((1)\)求\(a\)的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
\((2)\)从盒子中随机抽取\(3\)个小球，其中重量在\([5,15]\)内的小球个数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望\(.(\)以直方图中的频率作为概率\()\)

难度：中等

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分数区间	频数
\([0,10)\)	\(20\)
\([10,20)\)	\(30\)
\([20,30)\)	\(50\)
\([30,40)\)	\(150\)
\([40,50)\)	\(400\)
\([50,60]\)	\(350\)

分数	\([0,30)\)	\([30,50)\)	\([50,60]\)
满意度指数	\(0\)	\(1\)	\(2\)

产假安排\((\)单位：周\()\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)	\(17\)	\(18\)
有生育意愿家庭数	\(4\)	\(8\)	\(16\)	\(20\)	\(26\)

最高气温	\([10,15)\)	\([15,20)\)	\([20,25)\)	\([25,30)\)	\([30,35)\)	\([35,40)\)
天数	\(2\)	\(16\)	\(36\)	\(25\)	\(7\)	\(4\)