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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
              \((1)\)求椭园\(C\)的方程
              \((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．
              难度：中等
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            • 3．
              若直线\(2ax-by+2=0(a > 0,b > 0)\)，经过圆\(x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0\)的圆心，则\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}\)的最小值是\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {1}{2}\)
              B．\(2\)
              C．\( \dfrac {1}{4}\)
              D．\(4\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)方程为\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\)，过右焦点斜率为\(l\)的直线到原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(M(2,0)\)，过点\(M\)的直线与椭圆\(C\)相交于\(E\)，\(F\)两点，当线段\(EF\)的中点落在由四点\(C_{1}(-1,0)\)，\(C_{2}(1,0)\)，\(B_{1}(0,-1)\)，\(B_{2}(0,1)\)构成的四边形内\((\)包括边界\()\)时，求直线斜率的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              已知直线\(y= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}x\)和椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)交于不同的两点\(M\)，\(N\)，若\(M\)，\(N\)在\(x\)轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)
              B．\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)
              C．\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)
              D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{3}\)
              难度：中等
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            • 6．
              已知中心在坐标原点\(O\)的椭圆\(C\)经过点\(A(2,3)\)，且点\(F(2,0)\)为其右焦点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在平行于\(OA\)的直线\(l\)，使得直线\(l\)与椭圆\(C\)有公共点，且直线\(OA\)与\(l\)的距离等于\(4\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              已知直线\(l\)过点\((-2,0)\)，当直线\(l\)与圆\(x^{2}+y^{2}=2x\)有两个交点时，其斜率\(k\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((-2 \sqrt {2},2 \sqrt {2})\)
              B．\((- \sqrt {2}, \sqrt {2})\)
              C．\((- \dfrac { \sqrt {2}}{4}, \dfrac { \sqrt {2}}{4})\)
              D．\((- \dfrac {1}{8}, \dfrac {1}{8})\)
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上顶点为\(A\)，右顶点为\(B\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(O\)为坐标原点，圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}= \dfrac {2}{3}\)与直线\(AB\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)：\(y=k(x-2)(k\neq 0)\)与椭圆\(C\)相交于\(E\)、\(F\)两不同点，若椭圆\(C\)上一点\(P\)满足\(OP/\!/l.\)求\(\triangle EPF\)面积的最大值及此时的\(k^{2}\)．
              难度：中等
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            • 9．
              椭圆\(C\)的中心在原点，焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)在\(x\)轴上，焦距为\(4\)，\(P\)为椭圆\(C\)上一动点，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的内角\(∠F_{1}PF_{2}\)最大为\( \dfrac {π}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)是否存在与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点的直线\(y=kx+m(k∈R)\)，使得\(| \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}|=| \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}|\)？若存在，求出实数\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 10．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率是\( \dfrac {1}{2}\)，过点\(P(0, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)的动直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，当直线\(l\)平行与\(x\)轴时，直线\(l\)被椭圆截得的线段长为\(2 \sqrt {3}.(F_{1},F_{2}\)分别为左，右焦点\()\)
              \((1)\)求椭圆的标准方程；
              \((2)\)过\(F_{2}\)的直线\(l′\)交椭圆于不同的两点\(M\)，\(N\)，则\(\triangle F_{1}MN\)内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线\(l′\)方程；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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