\(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．

 \((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

已知直线\(3x+4y-15=0\)与圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=25\)交于\(A\)，\(B\)两点，点\(C\)在圆\(O\)上，且\(S_{\triangle ABC}=8\)，则满足条件的点\(C\)的个数为\((\)　　\()\)

\((1)\)设向量\(a=(x,x+1)\)，\(b=(1,2)\)，且\(a⊥b\)，则\(x=\)________．

\((2)\)已知\(θ\)是第四象限角，且\(\sin (\theta +\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\dfrac{3}{5}\)，则\(\tan (\theta -\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\)________．

\((3)\)设直线\(y=x+2a\)与圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-2ay-2=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则圆\(C\)的面积为________．

\((4)\)某高科技企业生产产品\(A\)和产品\(B\)需要甲、乙两种新型材料\(.\)生产一件产品\(A\)需要甲材料\(1.5kg\)，乙材料\(1kg\)，用\(5\)个工时；生产一件产品\(B\)需要甲材料\(0.5kg\)，乙材料\(0.3kg\)，用\(3\)个工时\(.\)生产一件产品\(A\)的利润为\(2100\)元，生产一件产品\(B\)的利润为\(900\)元\(.\)该企业现有甲材料\(150kg\)，乙材料\(90kg\)，则在不超过\(600\)个工时的条件下，生产产品\(A\)、产品\(B\)的利润之和的最大值为________元．

已知动直线\(\left( 2+\lambda \right)x+\left( 1-2\lambda \right)y+4-3\lambda =0\)与圆\(C\)：\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)相交，则相交的最短弦的长度为_____________．

\(14.\)已知椭圆\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的左焦点\({{F}_{1}}\)，过点\({{F}_{1}}\)作倾斜角为\(30{}^\circ \)的直线与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{b}^{2}}\)相交的弦长为\(\sqrt{2}b\)，则椭圆的离心率为_________．