已知“若点\(P(x_{0},y_{0})\)在双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)上，则\(C\)在点\(P\)处的切线方程为\(\dfrac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1\)，现已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)和点\(Q(1,t)(t\ne \pm \sqrt{3})\)，过点\(Q\)作双曲线\(C\)的两条切线，切点分别为\(M\)，\(N\)，则直线\(MN\)过定点\((\)    \()\)

已知“若点\(P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)在双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\) 上，则\(C\)在点\(P\)处的切线方程为\(\dfrac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1\)”，现已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)和点\(Q\left( 1,t \right)\left( t\ne \pm \sqrt{3} \right)\)，过点\(Q\)作双曲线\(C\)的两条切线，切点分别为\(M\)，\(N\)，则直线\(MN\)过定点\((\)    \()\)

已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)的右焦点为 \(F\)，若过点 \(F\) 且倾斜角为 \(60^{\circ}\)的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是

双曲线\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1\)的左焦点为\(F\)，\(P\)为双曲线在第三象限内的任一点，则直线\(PF\)的斜率的取值范围是__________________________；                                              

过点\(P(-2,2)\)的直线被双曲线\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(y\)\({\,\!}^{2}=8\)截得的弦\(MN\)的中点恰好为\(P\)，则\(|\)\(MN\)\(|=\)_______________．

过点\((3,0)\)与双曲线\(4\)\(x\)\(-9\)\(y\)\({\,\!}^{2}=36\)只有一个公共点的直线共有\((\)   \()\)

过点\(P(-2,2)\)的直线被双曲线\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(y\)\({\,\!}^{2}=8\)截得的弦\(MN\)的中点恰好为\(P\)，则\(|\)\(MN\)\(|=\)_______________．

设直线\(l\)：\(y=kx+m(\)其中\(k\)，\(m\)为整数\()\)，与椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)交于不同两点\(A\)，\(B\)，与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)交于不同两点\(C\)，\(D\)，使向量\( \overset{→}{AC}+ \overset{→}{BD}= \overset{→}{0} \)，符合上述条件的直线共有________条．