知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，点P为圆E：（x-1）²+y²=r²（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．
（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（-1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q₁，Q₂，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q₁，Q₂都存在，且Q₁，Q₂不重合，则直线Q₁Q₂恒过定点，并求该定点坐标．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：中等

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3．设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设D（x₀，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l₁，l₂过点D，且它们的倾斜角互补．若直线l₁，l₂与曲线C的另一交点分别是M，N，证明直线MN的斜率为定值．

难度：中等

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4．已知p，m＞0，抛物线E：x²=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为
5
2
．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k_AB+4k_CD=0，求证：直线AB经过一个定点．

难度：中等

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5．已知点P（m，n）是抛物线x²=16y上的一点，抛物线的焦点为F，若|PF|=5，则|mn|= ．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

难度：中等

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7．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（Ⅱ）如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

难度：中等

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8．如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M(0，-2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D%28-4%2C-12%29$ ．
(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程；
(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．

难度：中等

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9．如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0，b≠0)，且交抛物线y²=2px(p＞0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点．
(1)写出直线l的截距式方程；
(2)证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By_%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ ；
(3)当a=2p时，求∠MON的大小．

难度：中等

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10．抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1=0(x≥0)上
(1)求抛物线的标准方程
(2)过(1)中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BFC%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BFD%7D%7D%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BFM%7D%5E%7B2%7D%7D$ 的值．

难度：中等

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