知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求
S△PFG
|OG|
的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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2．已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

难度：中等

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3．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²=
4
3
相切，且抛物线y²=-4
2
x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为
2
5
5

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，
ON
=λ（
OB
+
OM
），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：中等

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5．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
，求出该圆的方程．

难度：中等

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且过点（
2
，
2
2
）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂，试问：当k变化时，m²是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

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7．已知椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
3
，且经过点（1，
6
2
），抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C₂交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C₂的切线l₁，l₂，求直线l₁，l₂的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆C₁的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．

难度：中等

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8．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y²=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，且过点（1，
6
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x²+y²=
3
4
相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．

难度：中等

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10．已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P(-1，
2
2
)在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值．

难度：中等

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