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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
              \((1)\)求椭园\(C\)的方程
              \((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，其中\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为左、右焦点，且离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，直线\(l\)与椭圆交于两不同点\(P(x_{1},y_{1})\)，\(Q(x_{2},y_{2}).\)当直线\(l\)过椭圆\(C\)右焦点\(F_{2}\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)时，原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)若\( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{ON}\)，当\(\triangle OPQ\)面积为\( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)时，求\(| \overrightarrow{ON}|⋅| \overrightarrow{PQ}|\)的最大值．
              难度：中等
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            • 3．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．
              难度：中等
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            • 4．
              给定椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，称圆\(x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}\)为椭圆\(C\)的“伴随圆”，已知椭圆\(C\)的短轴长为\(2\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，与其“伴随圆”交于\(C\)，\(D\)两点，当\(|CD|= \sqrt {13}\)时，求\(\triangle AOB\)面积的最大值．
              难度：中等
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            • 5．
              如图，一圆形纸片的圆心为\(O\)，\(F\)是圆内一定点，\(M\)是圆周上一动点，把纸片折叠使\(M\)与\(F\)重合，然后抹平纸片，折痕为\(CD\)，设\(CD\)与\(OM\)交于点\(P\)，则点\(P\)的轨迹是\((\)　　\()\)
              A．椭圆
              B．双曲线
              C．抛物线
              D．圆
              难度：中等
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            • 6．
              已知中心在坐标原点\(O\)的椭圆\(C\)经过点\(A(2,3)\)，且点\(F(2,0)\)为其右焦点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在平行于\(OA\)的直线\(l\)，使得直线\(l\)与椭圆\(C\)有公共点，且直线\(OA\)与\(l\)的距离等于\(4\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上顶点为\(A\)，右顶点为\(B\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(O\)为坐标原点，圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}= \dfrac {2}{3}\)与直线\(AB\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)：\(y=k(x-2)(k\neq 0)\)与椭圆\(C\)相交于\(E\)、\(F\)两不同点，若椭圆\(C\)上一点\(P\)满足\(OP/\!/l.\)求\(\triangle EPF\)面积的最大值及此时的\(k^{2}\)．
              难度：中等
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            • 8．
              已知点\(A\)是椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{9}+ \dfrac {y^{2}}{t}=1(t > 0)\)的左顶点，直线\(l\)：\(x=my+1(m∈R)\)与椭圆\(C\)相交于\(E\)，\(F\)两点，与\(x\)轴相交于点\(B.\)且当\(m=0\)时，\(\triangle AEF\)的面积为\( \dfrac {16}{3}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(AE\)，\(AF\)与直线\(x=3\)分别交于\(M\)，\(N\)两点，试判断以\(MN\)为直径的圆是否经过点\(B\)？并请说明理由．
              难度：中等
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            • 9．
              设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为\(A(0,2)\)，右焦点\(F\)到点\(B( \sqrt {2}, \sqrt {2})\)的距离为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设经过点\((0,-3)\)的直线\(l\)与椭圆相交于不同两点\(M\)，\(N\)满足\(| \overrightarrow{AM}|=| \overrightarrow{AN}|\)，试求直线\(l\)的方程．
              难度：中等
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            • 10．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)右顶点与右焦点的距离为\( \sqrt {3}-1\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过左焦点\(F\)的直线与椭圆分别交于\(A\)、\(B\)两点，若三角形\(OAB\)的面积为\( \dfrac {3 \sqrt {2}}{4}\)，求直线\(AB\)的方程．
              难度：中等
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