知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•苏州一模）如图，已知椭圆O：
x2
4
+y²=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值；
②求
PB
•
PM
的取值范围．

难度：中等

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2．已知抛物线y²=ax上一点M（4，b）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若此抛物线与直线y=kx-2交于不同的两点A、B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．

难度：中等

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3．已知直线l过定点（0，4），且与抛物线x²=4y相交于点A，B，点O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△OAB的面积为12
2
，求直线l的方程．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，焦距为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x-y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x²+y²=1内，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6． P（
2
，1）是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一点，且|PF₁|-|PF₂|=2，若抛物线的顶点是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的中心，焦点是双曲线的右顶点．
（1）求双曲线的渐近线与抛物线的准线方程；
（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：
1
FA•
FB
+
1
FC
•
FD
为定值．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，且C过点Q（1，
3
2
），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求曲线在点Q处的切线方程；
（Ⅲ）设点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=5上任意一点，过点P向曲线C作切线，切点分别为A、B，试证明∠APB为定值．

难度：中等

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9．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P（2，3），离心率e=
1
2
，直线1的方程为y=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得
1
k1
十
1
k2
=
λ
k3
？若存在，求λ的值．

难度：中等

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10．已知直线y=kx+4与椭圆
x2
3
+
y2
4
=1有两个不同的交点，求k的取值范围．

难度：中等

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