知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知动圆过定点(0，
1
2
)，且与直线y=-
1
2
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q是轨迹C上一点，过Q作圆P：（x-6）²+y²=1的切线，其中A、B是切点，若轨迹C在点Q处的切线与直线AB平行，求直线AB方程．

难度：较难

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2．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1的焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求以线段F₁，F₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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4．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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5．（2016•天津校级模拟）椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
3
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的两焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆C的上顶点，求△PF₁F₂内切圆方程；
（Ⅲ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

难度：较难

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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7．设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点F到直线3x+4y+1=0的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x-my+2=0，求直线l与抛物线C恰有一个公共点，两个公共点时实数m的取值范围．

难度：较难

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8．已知椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上，DF₂⊥F₁F₂，△F₁F₂D的面积为2
2
，离心率e=
2
2
，抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线l经过D点．
（Ⅰ）求椭圆E与抛物线C的方程；
（Ⅱ）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．

难度：较难

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9．平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-
3
4
．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=x-1与曲线C相交于P₁，P₂两点，Q是x轴上一点，若△P₁P₂Q的面积为6
2
，求Q点的坐标．

难度：较难

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10．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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