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          共50条信息

            • 1． 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB⊥AD\)，\(AC⊥CD\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(PA=AB=BC\)，\(E\)是\(PC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(CD⊥AE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)证明：\(PD⊥\)平面\(ABE\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求二面角\(A-PD-C\)的正切值．
              难度：中等
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            • 2．

              在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，\(AB=PD=a\)，\(PA=PC=\sqrt{2}a\)．

              \((1)\)求证：\(PD⊥\)平面\(ABCD\)．

              \((2)\)求异面直线\(PB\)与\(AC\)所成角的大小．

              \((3)\)求二面角\(A-PB-D\)的大小．

              难度：中等
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            • 3．

              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

              \((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

              \((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

              难度：中等
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            • 4．
              如图，菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，\(AE⊥\)平面\(ABCD\)，\(CF/\!/AE\)，\(AB=AE=2\)．

              \((1)\)求证：\(BD⊥\)平面\(ACFE\)；
              \((2)\)当直线\(FO\)与平面\(BED\)所成的角为\(45^{\circ}\)时，求异面直线\(OF\)与\(BE\)所成的角的余弦值大小．
              难度：中等
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            • 5．
              如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(PA=AD=AC=2\)，\(PD= \sqrt {2}PA\)，\(\triangle PCD\)是以\(CD\)为底边的等腰三角形，且点\(F\)为\(PC\)的中点．
              \((1)\)求证：\(PA/\!/\)平面\(BFD\)；
              \((2)\)求二面角\(C-BF-D\)的余弦值；
              \((3)\)求三棱锥\(B-CDF\)的体积．
              难度：中等
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            • 6．

              如图，在四棱锥\(V-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧面\(VAD\)是正三角形，平面\(VAD\bot \)底面\(ABCD\)．

                \((\)Ⅰ\()\)证明：\(AB\bot \)平面\(VAD\)；

                 \((\)Ⅱ\()\)求面\(VAD\)与面\(VDB\)所成的二面角的大小．

              难度：中等
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            • 7． 如图，在直三棱柱 \(ABC\)\(­\) \(A\)\({\,\!}_{1}\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\)中， \(AB\)\(=1\)， \(AC\)\(=\) \(AA\)\({\,\!}_{1}= \sqrt{3}\)，\(∠\) \(ABC\)\(=60^{\circ}\)．

              \((1)\)证明：\(AB\)\(⊥\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)；

              \((2)\)求二面角\(A\)\(­\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\(­\)\(B\)的正切值大小．

              难度：中等
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            • 8． 已知一个\(60^{\circ}\)的二面角的棱上有两点\(A\)，\(B\)，\(AC\)，\(BD\)分别是在这个二面角的两个面内垂直于\(AB\)的线段，若\(AB=4\)，\(AC=6\)，\(BD=8\)，则\(CD=(\)　　\()\)
              A．\(2 \sqrt {41}\)
              B．\(2 \sqrt {3}\)
              C．\(2 \sqrt {17}\)
              D．\(10\)
              难度：中等
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            • 9．

              设直线\(l\)与球\(O\)有且只有一个公共点\(P\)，从直线\(l\)出发的两个半平面\(\alpha ,\beta \)截球\(O\)的两个截面圆的半径分别为\(1\)和\(\sqrt{3}\)，二面角\(\alpha -l-\beta \)的平面角为\(\dfrac{5\pi }{6}\)，则球\(O\)的表面积

              A．\(4\pi \)
              B．\(16\pi \)
              C．\(28\pi \)
              D．\(112\pi \)
              难度：中等
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            • 10．
              如图：在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，\(PA=AB=2\)，\(PB=PD=2 \sqrt {2}\)，点\(E\)在\(PD\)上，且\(PE= \dfrac {1}{3}PD\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(PA⊥\)平面\(ABCD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(E-AC-D\)的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)证明：在线段\(BC\)上存在点\(F\)，使\(PF/\!/\)平面\(EAC\)，并求\(BF\)的长．
              难度：中等
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