知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2
2
，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

难度：中等

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3．如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥CE；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）当AP为何值时，二面角C₁-PB₁-A₁的大小为
π
6
？

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2
3
AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．

难度：中等

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8．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为直线CC₁上的动点，设
C1F
=λ
FC

（1）当λ=1时，求二面角F-DE-C的余弦值；
（2）当λ为何值时，有BD₁⊥EF？

难度：中等

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9．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心．
（1）求PO₂的长．
（2）求证：B₁O₃⊥PA；
（3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角．

难度：中等

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10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA1=
3
，AB=2，P在A₁B₁上，且A₁P=3PB₁．
（I）求证：PD⊥AD₁；
（II）求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）求点B到平面DD₁P的距离．

难度：中等

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