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在如图所示的几何体中，四边形\(ABCD\)是等腰梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AD=BC\)，\(CB=CD=CF=1\)，\(AB=2\)，\(FC\bot \)平面\(ABCD\)，\(AE\bot BD\)．
\((1)\)求证：\(BD\bot \)平面\(AED\)；
\((2)\)求二面角\(F-BD-C\)的余弦值．
已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)为菱形，\(PD=PB,\,\,H\)为\(PC\)上的点，过\(AH\)的平面分别交\(PB,\,PD\)于点\(M,\,N\)，且\(BD/\!/\)平面\(AMHN\)．
\((1)\)证明：\(MN\bot PC\)；
\((2)\)当\(H\)为\(PC\)的中点，\(PA=PC=\sqrt{3}AB\)，\(PA\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(60{}^\circ \)，求二面角\(P-AM-N\)的余弦值．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)，\(PA\bot \)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD\bot CD\)，且\(AD=CD=\sqrt{2}\)，\(BC=2\sqrt{2}\)，\(PA=2\)．
\((1)\)取\(PC\)中点\(N\)，求证：\(DN/\!/\)平面\(PAB\)；
\((2)\)求直线\(AC\)与\(PD\)所成角的余弦值．
\((3)\)在线段\(PD\)上，是否存在一点\(M\)，使得二面角\(M-AC-D\)的大小为\({{45}^{\circ }}\)，如果存在，求\(BM\)与平面\(MAC\)所成角，如果不存在，请说明理由．
若\((\vec{a}+3\vec{b})\bot (7\vec{a}-5\vec{b})\)，且\((\vec{a}-4\vec{b})\bot (7\vec{a}-5\vec{b})\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为____________。
如图，在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)侧面\(B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(E\)为棱\(C{{C}_{1}}\)上异于\(C,{{C}_{1}}\)的一点，\(EA\bot E{{B}_{1}}\)，已知\(AB=\sqrt{2},B{{B}_{1}}=2,BC=1,\angle BC{{C}_{1}}=\dfrac{\pi }{3}\)，求：
\((\)Ⅰ\()\)异面直线\(AB\)与\(E{{B}_{1}}\)的距离；
\((\)Ⅱ\()\)二面角\(A-E{{B}_{1}}-{{A}_{1}}\)的平面角的正切值．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PD\bot \)底面\(ABCD\)，\(E\)是\(AB\)上一点，\(PF\bot EC.\) 已知\(PD=\sqrt{2},CD=2,AE=\dfrac{1}{2},\)
求\((\)Ⅰ\()\)异面直线\(PD\)与\(EC\)的距离；
\((\)Ⅱ\()\)二面角\(E-PC-D\)的大小．
如图，已知\(ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)是底面为正方形的长方体，\(∠A{D}_{1}{A}_{1}=60^{\circ} \)，\(A{D}_{1}=4 \)，点\(P\)是\(A{D}_{1} \)的中点，异面直线\(A{A}_{1} \)与\({B}_{1}P \)所成的角的余弦值 \((\)结果用反三角函数表示\()\)．
\((1)\)求证：\(MN/\!/\)平面\(ABCD\)；
\((2)\)求二面角\(D_{1}-AC-B_{1}\)的正弦值；
\((3)\)设\(E\)为棱\(A_{1}B_{1}\)上的点，若直线\(NE\)和平面\(ABCD\)所成角的正弦值为\(\dfrac{1}{3} \)，求线段\(A_{1}E\)的长．
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