知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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2．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．正方体AC₁中，E、F分别是线段C₁D、BC的中点，则直线A₁B与直线EF的位置关系是．

难度：中等

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4．多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）求证：AE∥面BCD；
（2）求证：面BED⊥面BCD．

难度：中等

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5．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
5
10
，求BC的长．

难度：中等

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6．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M为棱PA的中点．
（I）证明：平面BDM⊥平面PAD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点N，使得直线BN与平面BDM所成角为30°？若存在，求出CN长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知：在△ABC中，
AM
=
1
3
AB
，
AN
=
1
3
AC
，求证：MN∥BC，且MN=
1
3
BC．

难度：中等

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8． V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，
VP
=
1
3
VC
，
VM
=
2
3
VB
，
VN
=
2
3
VD
，求证：VA∥平面PMN．

难度：中等

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9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E、F、G、H四点共面．

难度：中等

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10．在四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，点M在线段AG₄上，且AM：MG₄=2：1，求证：向量
G1G2
，
G1G3
，
G1M
共面．

难度：中等

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