知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．

（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量
MN
与
AC
，
BD
共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

难度：中等

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3．（2015秋•吉安期末）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，点E为AB中点，点F在线段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）证明平面PED⊥平面FAB；
（2）若PD=4，求三棱锥P-FAB的体积．

难度：中等

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4．（2015秋•泰安期末）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P
（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；
（Ⅱ）证明：AE⊥面ECD．

难度：中等

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5．（2015秋•滨州期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=
1
3
AD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（N与A不重合）．
（1）求证：MN∥BC；
（2）若PM=
1
3
PD，求证：AC⊥BM．

难度：中等

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6．（2015秋•肇庆期末）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若平面SAB∩平面SDC=SH，求证：AB∥SH；
（Ⅱ）求直线SC与平面SAB所成的角的正弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，N分别是PE，PF上的点．
（1）M，N分别是PE，PF的中点时，求证：MN∥平面ABC．
（2）当MN∥平面ABC时，求证：MN∥AC．

难度：中等

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8．四棱锥S-ABCD中，已知
AC
=（1，1，1），
AD
=（10，-5，5），
AB
=（-1，2，0），
SA
=（2，1，-3）．
（1）求证：BC∥AD；
（2）四边形ABCD的面积；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积，并说明理由．

难度：中等

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9．如图，P，Q，R分别是三棱椎A-BCD的棱AC，BC，BD的中点，过三点P，Q，R的平面交AD于S．求证：四边形PQRS是平行四边形．

难度：中等

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