知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2
2
，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥ABB₁A₁平面．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=
3
，SE⊥AD．
（1）写出一个平面，使它与平面SEC垂直；
（2）若SE=1，求三棱锥E-SBC的体积．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
2
，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）当t=3
2
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
AE
EP
的值；
（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

难度：中等

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5．如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=
1
2
CD．
（1）求证：BF∥平面CDE；
（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；
（3）线段EC 上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出
EM
EC
的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E为BC中点
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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7．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2．
（Ⅰ）证明PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）棱PA上是否存在点E，使得平面PCD丄平面BCE，若存在，试确定点E的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．

难度：中等

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10．在如图1的等腰梯形ABCD中，AB=1，DC=3，DA=BC=
2
，AE⊥DC于E，现将△AED沿AE折起，使得平面AED⊥平面ABCE，连接DA、DB、DC得四棱锥D-ABCE，如图2所示．
（Ⅰ）证明：DE⊥AB；
（Ⅱ）过棱DC上一点M作截面MEB，使截得的三棱锥M-EBC与原四棱锥D-ABCE的体积比为1：3，试确定M点在棱DC上的位置．

难度：中等

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