知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二阶矩阵M=
2 1
a b
（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量
α1
=
-1
3
，属于特征值3的一个特征向量
α2
=
1
1
．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量
β
=
-3
5
，计算M⁵
β
的值．

难度：中等

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2．已知矩阵A=
12
-14
．
（Ⅰ）求A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的一个特征向量
α1
、
α2
．

难度：中等

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3．设矩阵A=
1 a
0 1
（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的结论，求证：Aⁿ的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

难度：中等

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4．已知矩阵M=
1 x
2 1
的一个特征值为-1，则其另一个特征值为．

难度：中等

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5．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

难度：中等

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6．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
.
1
1
.
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
（Ⅰ）求矩阵M．
（Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

难度：中等

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7．选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵A=
.
1 2
-1 4
.
，向量a=
.
4
7
.

（I）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量a₁、a₂；
（Ⅱ）求A⁵α的值．

难度：中等

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8．知a∈R，矩阵A=
1 2
a a
对应的线性变换把点P（1，1）变成点P′（3，3），求矩阵A的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量．

难度：中等

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9．已知矩阵A=[
x 3
2 y
]，α=[
4
-1
]，且Aα=[
9
4
]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量
α1
，
α2
；
（3）计算A²⁰α．

难度：中等

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10．选修4-2：矩阵与变换
已知M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，试计算M³β．

难度：中等

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