知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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2．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：
z-1
z+1
为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
．

难度：中等

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3．设n是不小于2的正整数，求证：
4
7
＜1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
＜
2
2
．

难度：中等

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4．（1）已知a＞b＞0，求证：
a
-
b
＜
a-b
；
（2）已知函数f（x）=e^x+
x-2
x+1
，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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5．已知实数a，b满足ab＞0，a²b=2，m=ab+a²．
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若m的最小值为t，正实数x，y，z满足x²+y²+z²=
t
3
，求证：|x+2y+2z|≤3．

难度：中等

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6．求证：
（1）当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
；
（2）1，
2
，3不可能是一个等差数列中的三项．

难度：中等

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7．（1）用分析法证明：
3
-
2
＞
6
-
5

（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2．

难度：中等

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8．已知矩阵A=
3 a
0 -1
，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

难度：中等

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9．（1）解不等式：|x-1|+|2x+5|＜8；
（2）已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明：
a2
b+3c
+
b2
c+3a
+
c2
a+3b
≥
1
4
．

难度：中等

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10．已知|x+1|+|x-l|＜4的解集为M，若a，b∈M，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

难度：中等

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